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S'il existe une valeur a pour laquelle les zéros simples et les zéros doubles 

 sont exceptionnels B, les zéros simples ne peuvent être exceptionnels B pour 

 X distinct de a. 



II. M. Fatou m'a signalé en juillet dernier la proposition suivante dont 

 l'intérêt est très grand étant donné le peu que l'on sait sur les fonctions in- 

 verses des fonctions entières : 



y(z) étant une fonction enliêre et t un nombre positif quelconque^ l'équation 

 fÇz) = Z admet des racines de module inférieur à |Z|- dés que |Z| est suffi- 

 samment grand 



M. Fatou montrait, par l'emploi des suites normales de fonctions, que la 

 proposition est vraie, sauf peut-être dans certaines couronnes du plan des Z, 

 couronnes dont l'épaisseur totale est finie. Je vais démontrer que, dans le cas 

 des fonctions d^ordre fini, le théorème de M. Fatou, et même une propo- 

 sition un peu plus précise, est bien vrai sans restrictions. 



Posons 



/(-) =Co+Ci^ +. . ., 



désignons par p l'ordre de f {'■)■, et par M(r) le maximum de son module 

 pour |:;| =;•. Si P est un nombre supérieur à p, on peut écrire (en suppo- 

 sant déjà I Z I ^ I C(,| ) 



E(;/, P) étant le facteur primaire de genre P de Weierstrass, et a„ le 

 ^iém« 2^j.Q dey(::) — Z. Le produit canonique figurant dans o(z) a un déve- 

 loppement de la forme 



^/p+i^'"- 



et par suite l'identification des deux membres de l'égalité (i) montre que 



17 1 I'^ 17 1 I^ 



K étant un nombre fixe ne dépendant que des P premiers coefficients 

 dey(^). Le maximum du module pour | :: | = r de l'exponentielle figurant 

 dans cp(s) sera donc moindre que e, pourvu que r^"^' soit moindre que |Z| et 

 que I Z I soit assez grand. 



Supposons que le module r^ du premier zéro a ^ de 9(-) soit supérieur 

 à 2.r, le logarithme du module du produit canonique de 'j'{z) sera moindre 



