Il5o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ l'on peut supposer 



R,(o) = R,(;o), R',(o)=S,, R;(o) = S„ |S,| et |So|>i. 



I. \ a-t-il des signes permettant de conclure à l'cxislence ou à l'impos- 

 sibilité de solutions de (i) méromorphes dans tout le plan, sauf peut-être 

 en un ou deux points singuliers essentiels? 



La forme de la solution 



G,,(Z)^r,i^-,[y,(Z)]/--; 



permet de conclure lorsque la surface de Riemann 2, , sur laquelle y, (Z) est 

 uniforme, est symétrique. C'est ce qui arrive si [ZIR,(Z)) est à cercle 

 fondamental; 2, est alors symétrique par rapport au cercle fondamental, 

 et l'uniformité de G dans le cercle fondamental entraîne l'uniformité dans 

 tout le plan Z pai^ symétrie. J'étudie ceci en détail dans le Mémoire qui 

 développe cette Note. 



Dans d'autres cas, la considération de E^^ et E;.^ permet de conclure à 

 l'impossibilité. L'hypothèse de l'existence de '( = '^'(Z), méromorphe, sauf 

 en un ou deux points essentiels, entraine en effet qu'à loutpoinl Z de Er_ cor-* 

 respond un point u de Ej; ; mais la réciproque n'est vrtiie que si Ct(Z) est 

 rationnelle. Si G admet un ou deux points essentiels A et B, à tout point 'C 

 de E',(^ correspondent une infinité de points Z s'accumulant en A etB et qui, 

 à partir d'un certain rang, n'appartiennent certainement plus à E^ . En ces 

 points la famille des R',"' est bien normale, mais a pour limite une constante 

 qui est précisément la valeur A ou B. 11 se produit alors le phénomène 

 signalé dans ma Note du 21 novembre pour les fonctions entières générales. 

 Soit ^n^ l'ensemble des points Z tels que G(Z) appartienne à,E'p,, c'est l'en- 

 semble des Z où la famille des G[R';"J n'est pas normale. C^,^ contiendra E'^^ 

 et ne coïncide avec lui que si G est rationnelle. Il en résulte que siWy^^est 

 plus compliqué que Ej^^, V existence de solutions G méromorphes ou rationnelles 

 est impossible. C'est ce qui ai-rive si E'„_ est continu et E,,^ discontinu, si \\ est 

 superficiel et ?J^ continu linéaire ou discontinu. Un exemple simple est celui 

 de l'équation de Schrôder : 



G[R,(Z)]=:S,G(Z), 



E;,^ se compose du seul point origine et E^, est parfait. Toute solution uni- 

 forme de l'équation de Schrôder doit donc admettre tout point de Ep_ pour 

 point singulier essentiel. (C'est ce qui arrive notamment à la fonction de 

 M. Kœnigs.) Un autre exemple simple est celui de l'équation d'Abel 



ï\.jZ) = Z-\- a. 



