SÉANCE DU 5 DÉCEMBRE 1921. Il5l 



Au contraire, par G(.v, z) = R, [G(^)]5 Ej. = Torigine seule, E^, parfait, 

 on a eu des solutions niéromorphes dans tout le plan. 



La correspondance des cycles attractifs et répulsifs de R, et R^, par 

 'Ç = G(Z) est examinée dans le Mémoire détaillé. 



II, Les seuls cas où G puisse avoir 2 ou i points singuliers essentiels se 

 ramènent à 



(a) R,(Z) = Z^- (A- entier > o), 



{h) R,(Z)^P(Z) (polynôme en Z). 



a. Si 



{9.) G(Z^-) = Ro[G(Z)] 



a une solution méromorphe, sauf en o el ce, on voit que l'ensemble *Lyi, où 

 la famille des G[Z''"] n'est pas normale, est un ensemble fermé de cercles 

 concentriques à O, ou bien tout le plan. L'ensemble Er^, qui s'en déduit, 

 par L = G(Z), est un ensemble fermé de courbes analytiques avec peut-être 

 des points de rebroussement, mais aucun point double, ou bien c'est tout le 

 plan. L'étude de la structure au voisinage d'un point, lorsque Er^ n'est pas 

 tout le plan, permet d'affirmer d'abord que si un cercle de CJ est isolé, 

 G ne peut être que rationnelle, puis que, entre deux cercles consécutifs 

 de CJ qui limitent une couronne où la famille des G[Z'''J est normale, cette 

 famille ne peut avoir pour limite ni une fonction analytique de Z. ni une 

 constante, appartenant à Ep, , ou ne lui appartenant pas. Le cas où la limite 

 serait analytique conduirait dans le plan t ^= G(Z) à une couronne, limitée 

 par deux courbes de E^ , analytiques, et que Z^, = Rf (Z)poury) convenable 

 laisserait invariante : on montre que ceci est impossible; les deux autres cas 

 s'étudient aussi assez simplement. 



L'équation (2) ne peut avoir de solution méromorphe, non rationnelle, que 

 si Er^ recouvre tout le plan. C'est bien ce qui arrive dans l'exemple que j'ai 

 donné. 



b. Pour 



(3) . G[P(Z)] = R,[G(Z)], 



l'ensemble Cp, où la famille de G[P " ] n'est pas normale, a les caractères de 

 celui de ma Note du 21 novembre. 



Si ce n'est pas tout le plan, c'est un ensemble, fermé, de courbes analy- 

 tiques qui s'en vont à l'infini en ^'enveloppant mutuellement. L'allure de Cp 

 au voisinage d'un de ses points très éloigné donne celle de E^^ au voisinage 



