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Si les X,. _,._(/■/=; I, 2, ..., w) constituent un système d'expressions à 

 m indices, appelons différentielle absolue de X,._,. ,. Topération 



dy^r,. .,;„ = dX,.,...r,n ^ ~rjd, >^/-,. ../•,_, /.7;+, . . ./■„, dw,,. 



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La dérivée partielle absolue par rapport à w^ est lecoeflicient de</tOçdans 

 la différentielle absolue. On peut refaire, à l'aide de ces définitions, tout le 

 calcul différentiel sur le modèle du calcul tensoriel habituel. 



Les propriétés formelles du calcul ordinaire sont, en général, conservées 

 (parenthèse de deux opérateurs linéaires, intégrales de Stokes et de 

 Greeri). 



La permutation de deux différenliations absolues successives introduit 

 des symboles t'/^ analogues à ceux de Riemann : 



( 0, <r/)X,.^...,.^,_=:: (o, f/)X,.,...,-,„— 2 '///'' -^^v-- '•,-,/./■.•+,.../•„. d(s)i, 0',)i. 



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Ces symboles, et leurs dérivées absokies, obéissent, entre eux, aux 

 mêmes relations que les symboles de Riemann, si les a,/, sont des fonctions 

 du point (j;,, ..., ^„); sinon la relation entre trois s\mboles de Riemann 

 ne subsiste pas. 



Avec ces définitions, ■(o,fi^)(0/= o; oc?co,= o(i = i, 2, ...,«) représente 

 le parallélisme de Levi-Cività; une fonction /du point (.r,, ..., ^„) est ca- 

 ractérisée par (o, d)f = o. 



Cette manière de considérer le calcul différentiel absolu m'a permis de 

 refaire l'élude des covariants et invariants d'une variété V„, en considérant 

 son ds'- comme la somme des carrés de n. formes de Pfall". Les changements 

 de variables se réduisent aux transformations du groupe orthogonal et de 

 groupes analogues qui s'en déduisent par prolongement. Les transforma- 

 tions infinitésimales de ces groupes sont simples à former. 



Les propriétés de la covariance sont des conséquences des propriétés du 

 groupe orthogonal, et la saturation des indices permet, dans un certain 

 nombre de cas, de former tous les invariants d'une nature donnée (para- 

 mètres différentiels du deuxième ordre, invariants principaux d'une V.). 



n est claii' que les opérations absolues ont des propriétés fondamentales 

 au point de vue de la covariance, comme dans le calcul tensoriel. 



Ce calcul s'applique aussi au problème de la représentation confoniie 

 généralisée, c'est-à-dire au cas où la fonction multi})lieatrice est une inté- 

 grale curviligne. Les conditions trouvées ont absolument la forme des 

 conditions de M. Emile Cotton pour une variété du troisième ordre. 



