SÉANCE DU 19 DÉCEMBRE 1921. l327 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries V • 



Note de M. J. AVoLFF, présentée par M. Emile Borel. 



Dans une Noie, présentée le 28 novembre 1921 , j'ai donné un exemple 



d'une série y : — ^ qui peut être prolongée analy tiquement dans la région 



où les y... se trouvent, c'est-à-dire dans le cercle | r | = i. Bien que l'allure de 

 la série à l'intérieur de ce cercle présente quelque intérêt, l'exemple est très 

 spécial. 



Voici un exemple plus général, qui montre la grande généralité de ces 

 séries et qui répond assez nettement à la question posée par M. Denjoy, 

 formulée dans la Note citée. 



Toute fonction, holoniorphe dans un domaine borné quelconque D, est, 

 dans tout domaine D,, qui est contenu avec sa frontière dans D, représentable 



par une série ^ z—^"' ^^'^ ^--^ étant dans D et la série SA/, convergeant abso- 

 lument. 



En effet, il existe un domaine A contenant D,, à frontière formée par un 

 nombre fini de polygones P, et situé avec sa frontière dans D. Soit la dis- 

 tance des P à la frontière de D. 



A chaque entier positif n nous faisons correspondre des polygones P„, 



parallèles aux P, extérieurs à A, et à une distance des P égale à — • Les 



polygones P,, limitent un domaine 1^ dont A fait partie. Chaque A„ contient 

 le suivant A„^,. 



Soient/(c) une fonction holomorphe dans D, M le maximum de /(g)| sur 

 les polygones P„, ce nombre ne dépendant pas de n, et soit L la limite supé- 

 rieure des longueurs des P,j, ce nombre ne dépendant non plus de n. Pour z 

 intérieur à A, , on a _ 



La remarque qui conduit à la représentation de f{^) par une série de 

 fonctions rationnelles (méthode de Runge) permet d'écrire, pour z dansl. : 



(i) 2rJf{z)=y-^-^'2-i/,{z), 



