SÉANCE DU 19 DÉCEMBRE 1921. l329 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fondions quasi-analytiques de i^riable 

 réelle. Note de M. Arnaud De\joy, présentée par M. Emile Borel. 



M. Borel a donn('' le nom de quasi -analytiques aux fonctiojis de variable 

 réelle non dévelop[)ables en srrie de Taylor convergente, et cependant déter- 

 minées par leur valeur et celle de toutes leurs dérivées en un point. M. Borel 

 a été le premier, et pendant longtemps le seul, à soupçonner l'existence de 

 telles espèces de fonctions. J'ai pu démontrer, tout au moins sous réserve 

 d'hypothèses très larges concernant non pas la lenteur de divergence de la 

 série a„ définie ci-après, mais uniquement la régularité de son allure, le 

 théorème suivant : 



Si f(^x) est une fonction de variable réelle^ définie sur le segment ah et y 

 possédant des dérivées de tous ordres et si, M„ étant le maximum de \f'^' {oc) 



sur le segment ab, la série ^j-= est divergente, f{x) est entièrement déterminée 



sur tout le segment ab, par sa valeur et celle de toutes ses dérivées en un seul 

 point du segment. 



Si M,j<^a~", la série a,, étant divergente, le cas des fonctions dévelop- 

 pables en série de Taylor correspond à a^' = kn (k indépendant de n). Mais 

 les formes a~^ = knlo^/i ou l,n\ogn ... log^,/2 conduisent à des cas nou- 

 veaux. D('signant par (A) la première de ces hypothèses, j'indiquerai très 

 succinctement le principe de la démonstration correspondante. Cette condi- 

 tion (A) ofTre cet intérêt qu'elle est vérifiée dans le plan complexe sur une 

 infiniti' de droites partout denses parallèlement à toute direction, par les 

 fonctions monogènes non analytiques découvertes par M. Borel. 



Tout revient à établir que si o =f(a) =.f'{o) = . . ., on a.f(x) = o quel 

 que soit x sur ab. En substituant kf s'il le faut, la fonction 



f{x)f{a + b — x), 



on peut supposer que l'on a aussi o =f(b) = f'(b) = Soit a = o? 



b = i. 



Considérons la fonction entière de co : 



P ( Gj ) = r /( ^ ) e'"-*-- dx ( co = co' + ùo" =: rc'^" ) . 



Nous intégrons 71 fois par parties, n étant donné par r= e/cnlogn. On a 



