l33o ACADÉMIE DES SCIElVCES. 



sensiblement n = —r-, La courbe C définie par to' = — rn divise l'ex- 



ek log/- ^ lek log/" 



térieur du cercle r^r^'^i tw deux régions R, etR., l'une à gauche, l'autre 

 à droite de C. P(w) tend vers zéro quand w s'éloigne indéfiniment dans R,. 

 Soit A le maximum, atteint sur C, de | P(oj) | dans R,. DansRo, [P(w) I est 

 inférieur à é"' . 

 Soient 



IZ 7l 



< a < — > . loeoj = logr -h /a, 



2 2 



et H(co) la fonction égale pour co'^ o, à 



g-wloy'^(.. (ô>o). 



Si 2e/Tr6 <^ i, on voit que, co s'éloignant indéfiniment dans Ro, H(co) 

 et P(a))H''(to) (g-^o) tendent vers zéro. Le maximum de la seconde 

 fonction dans Ro est donc fini et atteint sur C. En faisant tendre t vers zéro, 

 selon le raisonnement connu de MM. Phragmen et Lindelôf, on en déduit 

 |P(co)|<A dansR,. 



La fonction entière P(w) est bornée. KUe est nulle au point à l'infini 

 de R,. Elle est donc nulle quel que soit to. D'où, comme on l'établit dans 

 la théorie des séries trigonométriques (co'= o), J {jo) =-- o quel que soit x. 



Soient E(^) une fonction entière à coefficients tous positifs aussi rapi- 

 dement croissante que l'on veut, "^Ç^) sa fonction inverse, et '\'{x) égale 



à log[X(loga7) |. Supposons que, /i, et //, étant positifs et bornés, la 



condition m'y(n) = /i entraîne n =m-'Y (m)hf. Alors, si a„ = '];'(w), la 

 démonstration précédente s'applique en posant 



ra„ = //, logH (w) -= — w '//^(w). 



Ces conditions sont vérifiées en particulier si M„ << (/y^log/z . . . log^,«)'*. 

 Au contraire, les fonctions 



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♦ 

 donnent des exemples de fonctions définies et non nulles pour ii^^oet 

 s'annulant avec toutes leurs dérivées pour x = o. Or, pour ces fonctions, 



n- n log^ n 

 La convergence de la série a„ peut être rendue aussi lente que Ton veut. 



