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d'un intervalle (ou d'un carré dans le cas de deux variables, etc.) sont telles 

 que la série de Taylor correspondante ait un rayon de convergence supé- 

 rieur à un nombre positif déterminé. On a cru pendant longtemps que cette 

 condition de Weierstrass, qui est suffisante pour la détermination univoquc, 

 était également nécessaire. Une longue suite de recherches dont l'origine 

 remonte à ma première Note publiée aux Comptes rendus (12 février 1894) 

 m'a conduit à la théorie des fonctions monogènes non analytiques qui 

 généralise, dans le plan de la variable complexe, la théorie de Weierstrass 

 et met en évidence le fait que la notion de monogénéité de Cauchy est plus 

 générale que la notion d'analyticité de Weierstrass. Celte théorie se 

 rattache à la théorie de la sommation des séries divergentes, qui a donné 

 lieu à de nombreux travaux, depuis mes prjemières publications. 



Si l'on se borne aux fonctions de variables réelles, les théories que je 

 viens de rappeler conduisent à définir des fonctions quasi analytiques, pour 

 lesquelles la série de Taylor diverge en tout point et qui sont cependant 

 entièrement déterminées par cette série de Taylor, c'est-à-dire par la 

 connaissance de leurs dérivées en un point. Mais une lacune subsistait, 

 rendant difficile l'extension à ces fonctions quasi analytiques de certaines 

 propriétés des fonctions analytiques : les conditions pour qu'une fonction 

 donnée de variable réelle fût quasi analytique s'exprimaient par la condi- 

 tion de la convergence de certaines séries, que j'appelais séries (M), mais 

 ne se ramenaient pas à des inégalités simples relatives seulement aux 

 dérivées successives de la fonction. Cette lacune vient d'être comblée par 

 M. Denjoy dans la Noie profonde qu'il a communiquée la semaine 

 dernière ('). 



Grâce aux résultats établis dans cette Acte, les méthodes de la théorie 

 des séries divergentes et de la théorie des fonctions monogènes non analy- 

 tiques conduiseni à des conséquences importantes, dont je voudrais résumer 

 rapidement les plus immédiates. 



1. Une fonction de deux variables réelles /(^, y) sera dite, dans un 

 domaine A, quasi analytique de première catégorie (-), ou, plus briève- 

 ment, quasi analytique, si, pour tout point du doiuaine A, on a 



(') Comptes rendus, t. 173, 192 1, p. 1829. 



(*) Les fonctions analytiques peuvent être regardées comme des fonctions quasi 

 analytiques de catégorie zéro; les fonctions quasi analytiques de seconde catégorie 

 s'obtiendraient en remplaçant log/n par le produit log/;/ log log/?^, .... 



