SÉANCE DU 27 DÉCEMBRE I92I. l433 



H étant une constante indépendante du point choisi et des entiers m et n, 

 lesquels peuvent être (luelconques, supérieurs toutefois à l'unité. Cette défi- 

 nition s'applique sans modification sensible aux fonctions d'une variable et 

 auv fonctions de plus de deuv variables. 



L'application de la méthode d<'s fonctions majorâmes permet de montrer 

 que : 



Une fonction quasi analytique de x et de j, dans laquelle on remplace x et y 

 par des fonctions quasi analytiques de a et de v^ devient une fonction analy- 

 tique de u et de v. 



Une équation différentielle de la forme 



dans laquelle f est une fonction quasi analytique ^ admet une intégrale quasi 

 analytiquCc 



Des équations quasi analytiques définissent, sous les conditions bien connues 

 relatives aux déterminants fonctionnels, des fondions implicites quasi analy- 

 tiques. 



3. Je ne développerai pas le détail des démonstrations, qui ne présentent 

 aucune difficulté, à condition d'utiliser la remarcjue suivante : dans toutes 

 les démonstrations basées sur la méthode des fonctions majorantes, le calcul 

 de la limite supérieure des dérivées inconnues jus(|u'à un certain ordre /i, 

 ne fait intervenir les dérivées des fonctions données (et par suite les dérivées 

 des fonctions majorantes) que jusqu'au même ordre n. Or, si Von se borne 

 momentanément aux dérivées d' ordre total inférieur à n, une fonction quasi 

 analyti([ue, d'après l'inégalité (i), admet comme fonction majorajile les 

 fondions classiques 



(2) ^ — ; et 



à condition de prendre 



(3) 



W los/i 



En donnant à n une valeur déterminée et à /- la valeur qui s'en déduit par 

 la formule (3), on obtient des limites supérieures des dérivées des fonctions 

 inconnues jusqu'à l'ordre n inclusivement; il est ensuite possible de donner 

 à n une valeur quelc(jnque et l'on constate que les limites supérieures obte- 



