SÉANCE DU 27 DÉCEMBRE 1921 . l445 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la tlélerminalLun des intégrales des équa- 

 tions aux dérivées partielles d ordre -ip àm variables admettant une fanal le 

 multiple de caractéristiques d'ordre p. Note de M. Maurice Gevrey. 



La présente Note fait suite à celle (jue nous avons publiée récemment sur 

 les équations linéaires à deux variables : pour celles-ci les termes d'ordre ip 

 peuvent toujours être ramenés à la forme \''u ('). La méthode 'pie nous 

 avons donnée est basée sur cette transformation et sur l'emploi des variables 

 complexes; nous nous proposons ici de donner un autre procédé, toujours 

 fondé sur les mêmes principes, mais applicable aux équations à m variables. 



1. Etudions d'abord l'équation 



(I) ^"U ^-V b,^..,,,,^ , '"^" +/= O (A-, -H. . .4- /,,„< 2/>), 



OÙ les coefficients h et /" sont fonctions de x^^ . . ., .r,„ dans une région .n, 

 le symbole A'' indiquant l'opération -y^ + . . . + -r-^ répétée p fois. La solu- 



tion fondamentale de l'équation A^m ^ o est 



//( 



(a) t' ::= f^2p^m^ gj 2p — /n est impair ou ■< o, 



(j3) ç z= r-P"'"^ y /•, si ip — m est pair et ^ o, 



r étant la distance des, points P(.r,, . . ., a?,,,) et II(H,, . . . , ç,„). Formons la 

 fonctionde Green ç(n, P), solution de l'adjointe de (i) relativement à II et 

 s'annulant, ainsi que ses p — i premières dérivées normales, quand II vient 

 sur la frontière S d'un domaine D intérieur à .^R.. Nous utiliserons pour cela 

 la fonction auxiliaire 



(y-) 





( 3 •) V ( H . P ) = /•-/'-"' '^ /• — rV'-'- 



où <^ et désignent les plus courtes distances de P et II à S, ri est égal à 

 f- -\- l\d^ Ql les A et les a sont respectivement les/> premiers coefficients des 

 développements de 



\i'^-r . / J 



( I — ; ) - et ( I — c ) -^ P /•, v' I 



(') Comptes rendus, t. 173, 1921, p. 762, éq. (ij. Dans cette équation, au lieu de -f- 

 il faut lire =z. 



