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La fonction de Green cherchée se mettra alors sous la forme 



(■2) g(n, P) = v(n, ]») + rv(n, M)9(M, P)f/ojM, 



û?(D,, étant un élément de D et '^ étant la solution d^une équation de Fredholm 



(3) 9(n, P)+ As-Cn, M)9(M, P)r='i(II, P), 



où le noyau K et le second membre 'h présentent, quand M ou P viennent 

 en 11, un pôle d'ordre m — i, ce ([ui est un cas classique d'équation de 

 seconde espèce. A l'aide de (J on calculera, par application de la formule 

 fondamentale, la solution de (i) prenant des valeurs données sur S ainsi que 

 ses dérivées des/? — i premiers ordres. 



Remar([uons, au sujet de la fonction \, qu'elle ne doit avoir la 

 forme (a) ou (^) qiCau voisinage de S, ceci afin d'éviter les discontinuités 

 des dérivées de o, situées « distance finie de S. Bien entendu, S doit vérifier 

 des conditions de régularité : pour m = 3 on suppose ses courbures princi- 

 pales finies et déiivables jusqu'à l'ordre ip — 2., Une discussion est néces- 

 saire pour les points coniques. 



2. Passons maintenant au cas général. Posons 



®"=2^'^4^.. ('>/"^=''^' •••■-), 



ttii^ étant fonction de x^, . . ., x,„ et la forme Z«//,X/Xyt étant définie et posi- 

 tive pour tous les points (^,, ..., j,„) de iK. Soit (©'' le résultat de l'opéra- 



?n 



tion CD répétée/» fois, en y considérant les <7,/^ comme constants. Envisageons 

 ré(|uation 



(4) ^J"-'''« +Z^''m •■•'•- T^^ r^+/^"*^- 



Nous prendrons com.vcie fonction auxiliaire dans le cas (a) 





(5) V(n, P) = r/ -'-rJ', 



le cas (3) étant analogue. Ici z.^ est égal à ~ -h [\si^ 'b, s et t ayant la signi- 

 fication (|ue nous leur avons donnée antérieurement ('). La fonction de 



(') Comptes rendes, t. 171, 1920, p. ()2o. 



