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existent peuvent comprendre : i" des solutions (A) (S = o) correspondant 

 aux facteurs simples de A; 2° des solutions (B) (linéaires) rendant indé- 

 terminé le coefficient intégral et par suite annulant les coefficients de 

 toutes les puissances de G dans $. Dans le cas où G entre au premier degré, 

 seules les solutions (B) peuvent exister. 



Par exemple soient les trois intégrales de contact 



(i) {p-o^)G^—2{y-px — ^)C-^{p~y.f=o [8(/ — ao^ - ,3) = C(C-2^)»], 



(Intégrale ordinaire. ) 

 (2) C^—2{y — px — ^)C-\-p—Cf.-0, 



^^^ j =[C — 8«3+i2h2— 3«— /(P)]2 — 64w'(« — i)'=o. 



Pour (i), la solution (A) [\{y — px — fl) — l'j x^ = o dérive de 

 (y — px — ^y — {poiy = o. La solution (B) annule les trois coefficients 

 p — 0L,y —px — ^,(p — a)'; c'est donc y — ccx — ^ = o. 



Pour (2), pas de solution (B). La solution (A) 4^(x — ax — i^) -\~ i = o 

 dérive du discriminant (y — px — ^y — {p — a) = o. Enfin, pour (3), il 

 n'existe ni solution (A), ni solution (B)-, donc pas d'intégrale singulière. 



IL Posons/(/?) = (/> — a^){p — a.^)...(p — «„) et soit À le degré de cp 

 en u, xf(i^)-h(^{u,v) = o l'équation pour laquelle le lieu des points 

 stationnaires se compose de droites. Ges droites 9(7 — ai x, a^) = o parmi 

 lesquelles figurent éventuellement les solutions singulières sont nX solu- 

 tions de l'équation de Glairaut ^(m, c^) = o. L'équation f(v) = o sera dite 

 équation déterminante des intégrales linéaires. 



Un cas particulier est celui de l'équation de BernouUi-d'Alembert 



^/i(/^) -^-/T(/^)^-4'(/^) = o> 

 qu'on ramène à la forme de contact 



(4) ^/(/>)-t- (j — /-^•37)?(/?) + ^(/^) = [f{p)=/l{p)-hp(?ip)] 



/(/>) = O [ou ft{p) -h p(f(p)^o] est l'équation déterminante. L'équa- 

 tion (4), en général, n'admet pas d'intégrale singulière. Supposons l'inté- 

 grale de contact rationnelle en p 



(5) [iy-p^nHp) + \Hp)]^f^^ = c. 



Si M(/}) ne se réduit pas à une constante, il y a des solutions (B) singu- 

 lières 



M (Pi) - o, (/ -pijo) li{pi) + K{p,) - o. 



