SÉANCE DU 3 JUILLET 1922. I^ 



Soit, par exemple, l'équation (') 



^f{p) + {y — P'^' — ^){f'ip) — V(/0] = (^ constante), 



Son intégrale e^P{y — px — A) '/(p) — C met en évidence le faisceau 

 des solutions (B) singulières 



/( P') = o, y—Pi^"-^ — '^ = o. 



III. Mulliplicateiir. — Si (4) est la dérivée d'une fonction de contact 

 H(j - px,p), on a 



ll{f — pa:,p)dp = C: 



/' 



Par exemple, y — 2/>j' — A(/))= o a pour intégrale 



P ( r — /^^-î^" ) — I ^ip) dp — G. 



Sinon, soit/ — xBi^p) — '^{p) = o (0, ■\i rationnels), soit le multiplicateur 



U{p) = eJ^\^-v; 



M.{p)\^y — xQ{p) — \i( p)\ est la dérivée d'une fonction de contact; et 

 l'intégration s'achèvera à Faide d'une nouvelle quadrature (-). 



IV. Equation de SernH. — Si A(^ ) est un polynôme en yo, et si, de plus, 

 A(p)^p-, on a l'équation de Serret ('), dont le premier membre est une 



(') Pour l'équalion plus générale 



^•/(/->) + (v-/^.r-A)îA(/.) [/(/.)]' + /'(/>) 1+ [/(y)]--' K(/0 = o, 



toutes les racines de f{p) r=: o supposées simples correspondent à des intégrales sin- 

 gulières et formées également d'un faisceau de droites y — p,a: — A = o. 



(2) Soient F{p)=y — p^x—p^ = p{i—p)a;-^{y—p'-)—p^=o, M{p)=—; 



I M { p ) V { p) dp ^ y l 1- a j — x{p + ,3) — — = C contient trois constantes a, 



[3, C, l'une C essentielle, les deu\ aulres a, j3 que l'on pour/a déterminer de façon 

 que / MF dp soit de contact; d'où 



/^(« -^l^/' + î^' « = ^ ;^=-' el 



iy-p-r){p-0- — 



:p = c. 



(^) C'est le premier exemple étudié (1867) d'équation (4) dénuée d'intégiale sin- 

 gulière, alors que l'on admettait implicitement le contraire. Le procédé indiqué 

 auparavant par Navier, pour la recherche de l'intégrale singulière, revenait à la déter- 

 mination des intégrales linéaires, parmi lesquelles, nous l'avons vu, figurent éventuel- 

 lement les intégrales singulières. 



C. R., 1922, 2' Semestre. (T. 175, N" 1.) 2 



