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dérivée de contact 



(6) ¥{p)^y — ipx — p'' = o, j[<{p)dp=p(y-px—B-\z=^C. 



Le coefficient intégral étant un polynôme en p, il n'y a pas de solution sin- 

 gulière. 



L'équation déterminante /(yj)^EE^ =^ o donne l'intégrale linéaire y — o, 

 qui, annulant simultanément les deux facteurs du coefficient intégral, est 

 une solution double de l'intégrale ordinaire. C = o est donc une constante 

 remarquable au sens de M. Painlevê. Pour C = o, il y a une autre inté- 

 grale l\y -h 3 j^-- = o, qui dérive de y — px — ^ = o. Tout cela concorde 

 bien avec la forme connue de l'intégrale générale 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le déplacement des zéros des fondions 

 entières par leur dérivation. Note de M. Miécislas Biernacki, présentée 

 par M. Emile Borel. 



Il semble (|u'on s'est occupé relativement peu, jusqu'ici, de l'extension 

 des théorèmes classiques de Rolle et de Laguerre (') à la théorie générale 

 des fonctions analytiques. 



Voici un résultat que j'ai obtenu à ce sujet dans le cas des fonctions 

 entières d'ordre fini. 



Je considère une fonction entière F(^) d'ordre fini, ayant tous ses zéros 

 sur une droite D du plan complexe. Je désigne par r/,^ ces ::éros, posant 

 l^« I = '^'"1 par ^^^" et A' respectivement la plus petite et la plus grande limite 

 d'indétermination des >„, par/? le genre du produit canonique, par q celui 

 du facteur exponentiel. 



Je fais, en outre, les hypothèses suivantes : 



I" Si q- p^ l'ordre réel n'est pas un entier par excès. 



2" Si ^ =/; = un entier impair et si X'^ -, les exposants de convergence 



des deux suites de modules des zéros relatives aux deux demi-droites de D 

 (en choisissani l'origine arbitrairement sur D) sont différents. 



(Il est probable que ces restrictions ne sont nullement essentielles et ne 



(') Comptes rendus, i. 94, 95, 98; Houkl, Leçons sur les fondions entières, p. 37. 



