SÉANCE DU 3 JUILLET I922. tQ 



sont exigées que par la méthode élémentaire de démonstration employée 

 ici). 



Dans ces conditions, on a le théorème : 



La droite D est une « ligne cV accumulation » des zéros de la dérivée ou, en 

 termes plus précis : 



// n^y a, en dehors d'un angle d'ouverture £, ayant pour bissectrice une 

 parallèle à la droite D considérée qu'un nombre fini de zéros de F'(:;), et cela 

 quelque petit que soit i . 



Ce théorème entraîne immédiatement une conséquence intéressante. 



Soit F(5) une fonction entière d'ordre fini, non entier^ et a et b deux cons- 

 tantes. Si toutes les racines de r équation F(z) — a = o sont situées sur une 

 droite D, celles de f équation F(z) — b = o sur une droite D' et si la condi- 

 tion 2" est vérifiée., les droites D et D' sont parallèles. 



Dans la démonstration (où je suppose, comme il est permis, tous les zéros 



réels), je considère d'abord la partie réelle et le coefficient de i de ^ ^ et 



en posant {x + iy)'' --?\f,fr, y) + i'èj,{x^ y) je multiplie ces quantités 

 respectivement par S^, et — R^, et j'ajoute les produits obtenus, puis je 

 répèle la même opération avec les multiplicateurs y lî^,— ^S^, et xR,,-!- jS^,. 

 J'obtiens ainsi les deu.v combinaisons 



(•) /( -^^ + ■'■')'• ;S „;; |> -',„)' + ",-'] -^ ^^'''"-'- < "' ^- > = "' 



W^,+,/_, et U/,^.^ étant des polynômes de degrés indiqués par leurs indices. 

 Je pose ensuite x = ty et j'étudie ces équations, en donnant à / les valeurs 

 de o à ?( (r, correspondant à i). 



Si q'Sp et si p est pair, j'utilise l'équation (i) : la série qui y figure est 



(si V > o) plus grande que ^-^^ ^ ^C^T^' ^^ ^^"^'^ 2^ ^^ant diver- 

 gente, cette expression croît plus vite que le polynôme W^,^^., (o;, y). 



Si q=p et sip est impair, je me sers de l'équation (2) ; je remplace encore 



la somme y figurant par la somme plus petite : / , \ zjrr7tr-riJ\' 

 Si q <Cp la démonstration est la même qu'au cas de p pair. 

 ^iq=p et a'<- on trouve que la dernière somme est d'ordre en y 



plus grand que 2, p. 



