SÉANCE DU lO JUILLET I922. 



lions infinitésimales 



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1, ...,/( 



où les a^js sont des constantes. Attachons à chaque point de Fespace un 

 système de référence cartésien arbitraire, tel cependant que tous ces sys- 

 tèmes de référence soient congruents entre eux vis-à-vis du groupe. Ils 

 dépendent de n -h r paramètres, à savoir les n coordonnées a;, de l'origine 

 et r autres paramètres ///, définissant Torientation du système. Soient co, 

 les composantes suivant les axes mobiles du déplacement infiniment petit 

 deToriginedu système de référence quand on fait varier infiniment peu 

 les Xi et les u^. Les co.sont des expressions de Pfaff linéaires en dx-,, ...,clœ„, 

 dont les covariaiits bilinéaires sont de la forme 



les «//, sont les mêmes constantes que dans les formules (i) et les cr, sont 

 r expressions de Pfaff linéaires en dx^ et duj, (ce sont les composantes de la 

 rotation instantanée du système de référence). 



Gela posé, les axiomes de M. H. Weyl peuvent être formulés analytique- 

 ment de la manière suivante : 



// est possible, d'une manière et d'uneseidc, de choisir pour les us, des formes 

 linéaires e/î co, , . . . , co,, telles que les seconds membres des équations (^) devien- 

 nent des formes quadratiques {extérieures) arbitraires ilj enbi^, . . . , co„. 



En partant de là, on démontre immédiatement, comme le fait du reste 

 M. H. Weyl, que Tordre ;• du sous-groupe g des rotations en un point est 

 égal à''^"~'^- Pour démontrer alors que g est semblable au groupe des 



rotations euclidiennes, on peut procéder de la manière suivante : 



I. Le sous- groupe g des rotations en un point ne laisse invariante aucune 

 multiplicité plane passant par ce point. Sinon, en effet, on pourrait toujours 

 supposer que cette multiplicité a pour équations 



a;^ — x^_~.., — JCy=o {v<n)] 



les constantes rt,y, seraient toutes nulles pour /^v, i > v; les seconds mem- 

 bres des V premières équations (2) ne pourraient alors être égalées à des 

 formes ùj arbitraires que si l'on avait v = /i — i, r>{n — i)% inégalité 

 incompatible avec la valeur r = "^''~'s du moins si n > 2. Le cas n = 2 



