84 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



peut être laissé de côté : il se traite directement avec la plus grande 

 facilité. 



II. Il résulte de ce qui précède que g est simple ou semi-simple { ' ). 



Supposons-le d'abord simple. J'ai déterminé dans maThèse(-) le nombre 

 minimum de variables d'un groupe linéaire simple de structure donnée ne 



1 • • • 1 • 1 • • ' 1 T T ^ • '^{>^ 



laissant mvariante aucune multiplicité plane. J.a condition /• = 



exclut d'emblée les groupes des types E), F), G). Les cas des types/?) et D) 

 donnent précisément les groupes des rotations euclidiennes. Reste donc à 

 examiner les types ^4) et C). 



Tout groupe linéaire du type A est isomorphe au groupe linéaire et homo- 

 gène spécial àp> 2 variables avecr=/?- — i. Les cas/» = 2 et jd = 4 peuvent 

 être traités directement, les groupes pouvant du reste être considérés 

 comme du type ^)ouZ)); le cas p = 3 s'exclut de lui-même, la valeur 



r — 9 — I = 8 n'étant pas de la forme — — Si enfin p > 5, les résultats 



obtenus dans les Mémoires cités plus haut montrent immédiatement qu'on 

 a n =p ou n^ ^—^ -• Dans le premier cas r est supérieur.^ dans le second 



cas il est in eriew a — ^ -- 



Tout groupe ^^ du type C) est à r^=p(ip-\-\) paramètres; l'égalité 



r = exige donc /i= 2/j + i. Or on a soit /î = 2p, soiin^ip- —p— i: 



les deux cas sont impossibles. 



Le cas des groupes simples étant ainsi traité, celui des groupes semi- 

 simples se traite aussi facilement. J'ai démontré en effet {liull. Soc. math., 

 lac. cil.) qu'on avait pour n et ;• les valeurs 



n zzz «, n.2 . . . /i/,, /• = /"i -h /-j 4- . . . H- Om 



les entiers //,, /Zo, ..., W/,, tous supérieurs à i, représentant les nombres de 

 variables de h groupes linéaires simples ne laissant invariante aucune mul- 

 tiplicité plane et d'ordres respectifs /■,, r,, ..., r,,. L'inégalité, facile à 

 démontrer, 



>(n- — i)-\-{n:,- 1) + . . . + («^ — 1) 



entraîne immédiatement a forliori 



n( /i — \) 



— >r. 



2 



(') E. Cartan, Ann. Éc. /Vorm., 3« série, t. 26, 1909, p. 147. 

 n Paris, Nony, 1894, p. i/,?- 



