SÉANCE DU lO JUILLET 1922. 85 



Il y a exception dans le seul cas /i = 2, «, = «.= 2, r, = /-j — 3, qui 

 donne le groupe des rotations euclidiennes dans l'espace à quatre dimen- 



sions. 



Le théorème de M. Weyl est ainsi complètement démontré. Il est vrai 

 aussi bien dans le domaine réel que dans le domaine complexe. 



Si on lai.sait tomber le second axiome de M. H. Weyl, trois catégories 

 nouvelles de groupes g-, et trois seulement, deviendraient possibles, 



d'ordres respectifs ^'^^^J^'^ (npsi\r>/\),n(n — i)eln--i. 



ARITHMÉTIQUE. — (iroiipes ahéUens fuiis. Noie de M. A. Ciiàtelet. 



Dans leur Mémoire fondamental de 1878 sur les groupes abéliens finis ('), 

 MM. Frobenius et Slickelberger ont signalé les relations de cette théorie 

 avec celle des formes bilinéaires arithmétiques et ils ont utilisé ces relations 

 pour établir l'existence d'une base normale ou réduite d'un, groupe, déjà 

 reconnue avant eux par Schering et Kronccker. Il ne semble pas que ce 

 rapprochement des deux théories ait été utilisé depuis; il est cependant 

 fécond en suggestions et il permet en particulier de poser méthodiquement, 

 et même de résoudre pratiquement certains problèmes, encore peu précisés, 

 comme la recherche des sous-groupes, et l'étude du groupe des automor- 

 phismes. Je voudrais signaler ici quelques-uns des résultats que j'ai pu 

 obtenir dans cette voie : au lieu des notations des formes bilinéaires, j'ai 

 employé de préférence celle des matrices et des modules de points (^). 



1. Un groupe abélien fini peut être construit par « multiplication » à 

 partir d'un certain nombre de ses éléments : A ,,..., A/,. Tout autre élément 

 est de la forme 



les exposants x\ sont des entiers, mais la représentation des B est ainsi 

 possible d'une infinité de façons. On peut caractériser cette indétermina- 

 lion en considérant les Xi comme les coordonnées d'un point M dans un 

 espace à h dimensions; ce point M n'est alors défini qu'à une congruence 

 près, relativement à un certain module de points entiers ^f , ayant pour 

 base un tableau P(de A lignes et colonnes); en particulier, si M est dans IP, 



(') y. reine aiigew. Math.^ n° 86. 



(-) Notation utilisée déjà dans mes Leçons sur la Théorie des nombres et diverses 

 Notes aux Comptes rendus {i(^i'2.-i^\^). 



