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B est égal à réléinent unilé. Ordinairement on choisit les A (base normale 

 ou réduite du groupe) de façon que chaque entier Xi soit défini respective- 

 ment à un module entier pi près; le tableau B est alors un système simple^ 

 c'est-à-dire à termes tous nuls, sauf ceux de la diagonale principale égaux 

 aux/?,('). 



2. La recherche des automorphies d'un groupe ainsi défini, c'est-à-dire 

 de ses isomorphies holoédriques avec lui-même, revient à la recherche des 

 tableaux T, définis à l'addition près d'un tableau E.P (Eà termes entiers); 

 tels que P.T.P"' soit à termes entiers; QX\ï\n premiers à droite avec F 

 (c'est-à-dire tels qu'il existe des tableaux entiers U et V vérifiant l'égalité 

 U.T -H V.P = i). Ces tableaux T forment un groupe, relativement à la 

 multiplication ordinaire des tableaux, et à leur produit correspond la 

 composition des automorphismes. 



En outre, si dans la définition des T, on supprime la dernière condition, 

 on obtient un corps d'un nombre fini d'éléments (renfermant le produit et 

 aussi la somme de deux d'entre eux). Les éléments de ce corps correspon- 

 dent alors aux isomorpliismes du groupe, soit holoédriques avec lui-même, 

 soit mériédriques avec un de ses sous-groupes. La question des automor- 

 phismes se trouve ainsi ramenée à celle des corps non ahéliens d^un nombre 

 fini d^ éléments {-). Les automorphismes proprement dit sont les éléments 

 non diviseurs de zéro. 



3. Les sous-groupes correspondent à la décomposition en produit du 

 tableau P = Q.B, et ceci donne pour la recherche des sous-groupes un 

 mode opératoire précis et simple. On peut d'ailleurs voir à quoi tient la 

 difficulté de la question, quand on n'introduit pas les tableaux. C'est que, 

 pour la recherche des décompositions précédentes, on peut toujours sup- 

 poser P sous forme réduite (groupe rapporté à une base réduite), tandis 

 qu'il n'en est plus nécessairement de même de Q etR. Autrement dit, pour 

 chercher simplement les sous-grouj^es, il ne faut pas les chercher rapportés 

 nécessairement à des bases réduites. 



4. Les systèmes de caractères de Weber s'obtiennent en prenant pour 

 exposant d'une racine convenable de l'unité la forme bilinéaire associée au 

 tableau : 



P, = I^~' X délerminanl de 1*. 



(') Je n'insisle pas sur l'existence d'un tel système d'éléments qui correspond pré- 

 cisément aux points étudiés par L^'obenius et Stickelberger. 



(^) Je rappelle que ce groupe des automorphismes comprend comme cas |)arlicii- 

 lier le groupe linéaire de Jordan. 



