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1. Faisons dans l'intégrale double 



le changement de variables 



(2) ?^— ^(U,V), v = h{\],\) {u = a;^-v- iyx, v — x.^ iy^). 



A l'ensemble des deux courbes (C) et (F) de l'espace (//, c) à quatre 

 dimensions, vont correspondre, avec la transformation (2), dans les plans 

 U et V, les courbes (c) et (y), 



UrrrX, + /Y,, V = X, + i Y,. 



Nous prendrons les fonctions g et h, telles que, aux domaines extérieurs 

 aux courbes (C) et (F), correspondent les champs intérieurs aux cercles 

 (c) et (y) de rayons égaux à l'unité, et aux points // = co, v= co, les centres 

 des cercles U = o, V = o, 



^^ = qP-/(u,v), ..a^-.,(u,v), 

 p(V)=2^,V', /(U. v)=V2r^„.„U"'V^ 



les fonctions P,/, Q, 9 étant régulières dans les cercles (c) et (y). 



La fonction F(a7,j) étant régulière dans l'intérieur des courbes 

 (C) et (F) et le long de ces courbes, après le changement (2), l'inté- 

 grale (i) devient 



^^ ^ '^^- 47r-^X,4(.--^')(/*-j) 1^(F\ V)^'^^''' 



et l'on trouve 



D(IJ, V) 



^a^a;){h—y) 



= lfv ['"^22^'"'^"^'"'-"^''"'-^^ 



P,„„(.'r, r) étant des polynômes de degrés m en — ^ — ^% /^ en • — ^— ^' 

 Donc 



(4) 



I F(.r,j)r-.:22^"'-"'''"^"(^0')^ 



\ A„,,„ = - 7^ r r F[i.(U, V), A(U, V)]U"'-'V"-'./U^V. 



