SÉANCE DU 24 JUILLET I922. 2o5 



Nous avons obtenu ainsi le développement de la fonction F(œ, y) en 

 série de polynômes de deux variables complexes, valable seulement à 

 l'intérieur des courbes (G) et (F), les polynômes dépendant seulement 

 des contours (C) et (F) et les coefficients A,^„, des contours et de la fonc- 

 tion F(a7, y). 



Exemples : 



P,„(^) et Qn(y) étant les polynômes de M. Faber qui correspondent res- 

 pectivement aux contours (G) et (F), dans les cas d'une seule variable 

 complexe ; 



Si U et V décrivent les cercles (c^) et (y,) de rayons égaux, p <C i? a'vec la 

 correspondance U = pe"^, V = pe'", on obtient, sur les plans m = a;, + ?>,, 

 ç; = oJo 4- ï Yo , les courbes associées (G,) et (F,), qui sont des ellipses 

 égales, homofocales, de foyers — i et -1- i. 



2. On peut, comme pour le cas d'une seule variable complexe ('), 

 trouver les propriétés des polynômes P„;^(a7, y). 



En faisant la transformation ce = g{X, \), y = A(X, Y), on a : 



1° P/",«(-^> J)= X^ +/,«," (^% Y); 



s>.° F.(X,Y):=zF[^-(X,Y),/KX,Y)]=22>^+Z2^'''-''^''''''^-^''^'"^' 



ce qui montre que le développement de F(x,y) est unique, etc. 



II. Le deuxième point de vue de l'étude des séries ^ ^ ^im,n^m,n(-f^> j) 

 est moins simple que le premier. 



1. Gonsidérons le cas où les coefficients «„, ,j sont donnés (-) tels que 



VI «'"-|/'"-^ 7(1) 



(') Voir Faber, Ueber polynomische Entwickeliingen {Math. Annalen^ iQoS, 

 p. 389 et 1907, jD. f 18). 



(^) Au sens de MM. Hadamard et Lemaire. Voir Lemaire, Sur les séries entières à 

 plusieurs variables indépendantes {Bulletin des Sciences mathématiques^ 1896, 

 p. 286). 



