2IO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Un calcul simple montre qu'au troisième ordre près, on a 



(3) A/-(/.5;/.„...,/;,) = A/-(^)-(/>„) + A='(/.)-(/>„) 



X 



/- n - 1 n — i \ 



(.V=:0 .s=0 ) 



On le vérifie aisément pour n=. i et on l'établit pour n quelconque par 

 récurrence. 



En délinissant d'une manière analogue le déplacement d'un tenseur cova- 

 riant A^-, on obtient une formule semblable avec des indices supérieurs, 

 c'est-à-dire avec des paramètres nouveaux, De cette façon, on étend aisé- 

 ment toute la cinématique lensorielle aux tenseurs d'ordre quelconque. Si 

 l'on ajoute enfin au second membre de (2) des termes de degré supérieur 

 à 2, on obtient la généralisation de la formule (3) pour le cas d'une con- 

 nexion d'ordre quelconque. Les termes du second degré n'en sont cepen- 

 dant pas altérés. 



3. Explicitons la formule (3) pour l'appliquer au problème du contour 

 fermé. En mettant en évidence les coefficients des différentielles, on a 



^^[P)-iPn) 



x = l s = 1 



"-1 "1 



Si le polygone est fermé, c'est-à-dire siV^-î-^'/^ o, l'élimination de A„iC). 

 conduit à la formule fondamentale suivante : 



avec 



■> = ! ^ = 1 J 



' a,)., [A- — 2 1^/, a),|j. — — ^V,,/,|J.^'/,,a,>, 



et 



'-'x.A.iJ. — ^/,,a,).,iJ. "t- ^ ■>/;,«, ij.,/, y- ^^h,r,i,^ 'r,a..\i.- 



4. L'intérêt principal de la formule (5 ) est qu'il met en évidence les len- 



