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Nous choisissons la bouche du canon pour l'origine, l'axe des x étant 

 dirigé suivant la vitesse initiale et l'axe des y suivant la verticale descendante. 

 On a pour les é(jnalions du mouvement 



avec les conditions initiales x =^ q>, y =^ o^ x' = ç^q, j)/'= o [)our ; = o. Ici, la 

 vitesse v est donnée par t^- = a;'- -i-y'^ — 2X''j^'sina, où x et y' sont les 

 dérivées de x et y par rapport à / ela l'angle que fait la vitesse initiale avec 

 l'horizon. 



On établit facilement : i° que x et y' restent positives et finies; 2° que 

 pour [ sina | <] i — £, où t est une petite quantité positive, la distance du 

 point {x\y') à Torigine du plan (x',y) reste supérieure à une quantité 

 positive et que 3° la trajectoire a une asymptote verticale. 



Dans ces conditions v eifi^v) seront des fonctions holomorplies de x' ^ y' 

 et sina autour de chaque point de la trajectoire et d'après un théorème de 

 Poincaré approfondi par les travaux de MM. Picard, Hadamard, v. Esche- 

 rich, Lindelôf et d'autres, il existe un /, tel que pour toute valeur àe t^t^ 

 les intégrales x' et j' seront des fonctions holomorphes de sina. En posant 



x\ = œ'{t,) et y\^y'{l,) 



et en faisant le changement de variables 



x'=x\-^l', / = /, + rj', / = /,+ ■:, 



les équations du mouvement deviennent 



|:'--(^; + ^")/(<'), ^ = .--(7', + V)/(r) 



avec les conditions initiales t = o, ^' = o, y]' = o. 



Le même théorème de Poincaré donne maintenant que ^' et y]' sont des 

 fonctions holomorphes de sina tant (jue |sina|<^i — £ dans un intervalle 

 déterminé de T. Le point (.x-', y') restant à une distance de l'origine sujié- 

 rieure à une quantité positive déterminée et d'autre part l'origine étant 

 l'unique point singulier de/(ç^), on peut répéter cette opération à l'infini, 

 ce qui permet d'écrire pour les valeurs de t l'intervalle (o, + ce) 



, , ( ^'= r/o+ «1 sin a -(- «2 sin^a + . . . , 



I y' =: 60+ />, sina + 62 siii'^a +. . . , 



OÙ a„ et />,( sont des fonctions de l. 



