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7?73, . . ., donc aussi la suite de nombres rationnels 



extraite de la suite ( i). Désignons par Ro(î') Fenseinble (linéaire) de 

 nombres rationnels (3) correspondant ainsi au nombre j- de X ( '). 



Soit a un nombre ordinal donné de première ou deuxième classe et sup- 

 posons que nous avons déjà défini les ensembles B|(^) pour ol2C<^ a. Si a 

 est un nombre de première espèce, désignons par 'Rr,(œ) Tensemble qu'on 

 obtient de Rx_,(a7) en retranchant de cet ensemble sa borne inférieure [si 

 elle lui appartient; sinon, Ua(^) = Ra-i (^)]- Si a est de seconde espèce, 

 posons 



Les ensembles Ra(^) sont ainsi définis par Pinduclion Iransfinie pour 

 tout nombre ordinal 7. <^ù (où Q désigne le plus petit nombre transfini de 

 la troisième classe) et l'on a évidemment 



]\x(^') C Rp(.î?) pour a < ,6. 



Les ensembles Ra(^) étant au plus dénombrables (comme formés de 

 nombres rationnels), il en résulte l'existence (pour tout nombre .r de X) 

 d'un plus petit nombre ordinal [j, = p.(^^) <C 12, tel que 



Hjj.(-^) — R!J.+ i(^p) [doncimx)^\\i+i{a-) pour ^'</J.]. 



[ L'ensemble R(jL(i«7) peut d'ailleurs être vide. ] 



a élaiit un nombre ordinal donné <C 12, désignons par E^ l'ensemble de 

 tous les nombres ^ de X tels que p.(^') = a. Nous aurons évidemment 



EajEp^O pour oc^^ 



et 



(4) X=:Eo + E, + E2 + ...+ E„+E,,^,+...+ l^:a4-... (a<£2). 



Désignons (pour tout nombre /• de R donné) par (^oc^') l'ensemble de 

 tous les nombres x de X pour lesquels l'ensemble Vx^^Çx) contient le 

 nombre r, et désignons par Sa(r) l'ensemble-somnie de tous les ensembles 

 Q.^(p), la sommation s'étendant à tous les nombres p << ;• de R. 



(') Cf. II. Lebesguk, Journal de Mat/icnialiques, 6" hérie, t. 1, 1905, p. 2i3. 



