SÉANCE DU 21 AOUT I922. SSq 



On vérifie sans peine pour tout nombre /• de R la formule 



(5) Qa(r) = Qa-.(/-).Sa-i(/'), 



si a est un nombre de première espèce, et la formule 



(6) Qa(0=H^^'^''^' 



si a est un nombre de seconde espèce. 

 Or, posons 



(7) ^a=^[(Mn.)~Q<.^An)]-, 



on voit sans peine que T^ est l'ensemble de tous les x de X pour lesquels 

 Y{y(^x) ^ Ra+i (^), et l'on trouve la formule 



(8) l^.a=fjTE-Ta, 



pour tout nombre ordinal a <^ £2. 



Qo(rf,) est l'ensemble de tous les nombres x de X dont le développe- 

 ment (2) contient le terme -r: c'est donc une somme de 2''' intervalles 



(sans extrémités gauches). Donc les ensembles Qo('') sont mesurables (B). 

 Les formules (5) et (6) permettent de prouver sans peine par l'induction 

 transfinie que les ensembles Qa(^) sont mesurables (B) (pour tout nombre r 

 de R et tout nombre ordinal y.<^Q). l\ en résulte donc, d'après les for- 

 mules (7) et (8), que les ensembles Ea sont tous mesurables (B), pour a << U. 



La suite (3) représentant un sous-ensemble donné quelconque de R, soit D , 

 et le nombre x étant défini par la formule (2), nous aurons évidem- 

 ment R„(^) = U. Or les sous-ensembles de R, ordonnés d'après la gran- 

 deur de nombres qu'ils contiennent, peuvent représenter tous les types 

 ordinaux dénombrables. Il existe donc, pour tout nombre ordinal a <] (2 

 donné, un nombre x de X tel que JX^Çx) soit un ensemble bien ordonné du 

 type a. Or on voit sans peine que pour un tel a? on a [^(x) = a, donc E^ ^ o. 

 Les ensembles E^ sont donc tous non vides pour a <] 12. 



La formule (4) représente donc la décomposition désirée. 



