36d académie des sciences. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. ~ Sur une classe de transcendantes uniformes . 

 Note (') de M. H. Mixeur. 



I. Dans une Note récente {^), nous avons étudié certaines équations 

 fonctionnelles que nous écrivions sous la forme symbolique 



(II) fis) = Ç){f)- 



Prenons pour g le groupe suivant : 



, ax + bv , ex + dy , az -\- b 



x' ■=. y-t y' = -j-, Z =: 



cz -h a " cz -h a c z -h a 



et pour ç un groupe semblable à ^, et formé de transformations biration- 

 nelles sur la multiplicité algébrique DIl d'équation 



(I) F(?/,. f/,, ?/3, «4) = o. 



On se trouve alors dans le second cas du paragraphe III de la Note pré- 

 cédemment citée. Les // sont donc des fonctions uniformes des variables x, 

 y, z. La multiplicité est constituée ici par la quadrique .x — yz =: o\ il 

 peut se présenter deux circonstances principales : 



1° ç n'admet aucun élément invariant, est alors un lieu de points sin- 

 guliers essentiels pour les fonctions u. 



2^ ç laisse invariante une multiplicité A et sur A une infinité de courbes 

 dépendant d'un paramètre. On démontre que x, y, z se comportent comme 

 des fonctions rationnelles des u en tout point de la multiplicité M. Les u 

 sont des fonctions holomorphes de ic, j, z sur une certaine portion de 0. 



Considérons M comme une multiplicité à six dimensions et traçons sur M 

 des coupures à cinq dimensions, de telle façon que sa connexion linéaire 

 soit i; désignons par M la multiplicité M ainsi découpée, lorsque le 

 point u décrit M' le point x, y, z engendre le domaine fondamental des fonc- 

 tions //. Dans le premier cas, ce domaine n'a aucun point commun avec 0; 

 dans le second cas, une certaine portion de en fait partie. 



Les fonctions u ainsi définies se répètent par un groupe discontinu (g') 

 issu du groupe 



ax + ^z j a _y H- j3 _, yx + oz 



x m 



yj + " yy-+-à y y 



(') Séance du 7 août 1922. 



(■-) Comptes rendus, l. ilk, 1922, p. 1678. 



