SÉANCE DU 21 AOUT 1922. 36l 



Si l'on pose 



les fonctions 11 se rédaisenl à des fonctions kleinéennes de y. Pour cette 

 raison, nous appellerons les fonctions u « fonctions ultrakleinéennes ». 



II. Réciproquement, toute fonction kleinéenne peut être définie comme 

 nous venons de le faire : Soit 



/.(j-)-2" 



>0,/ + b/i l {a/,d/c—h/,Ck)' 

 c/, 7 + d,, J ( Ca y + ci,, Y "' 



une fonction thétafuchsienne ou thétakleinéenne. Pour le groupe ultraklei- 

 néen correspondant à ce groupe kleinéen, la série 



^\ D(:r,r, 3) i 

 est convergente dès quejo est un entier supérieur à i, car 



^{^,y^ -) \dy J ' 



On pourra donc former une série qui se réduira à/*,(j) pour a.:=z^^o. 

 III. Les résultats précédents se généralisent facilement. Soient 



•^•/,/, J,. = r. 2, ..., (/i + i) 



les coordonnées homogènes d'un point dans l'espace à n'- h- 2/2 dimensions. 

 Prenons pour g le groupe 



-^ai 



i^ik. 



et pour fj un groupe semblable à ri- -^ in + \ variables z/,... w„«^2«+i- 

 Les u sont encore des fonctions uniformes des x. Moyennant quelques 

 hypothèses sur les multiplicités invariantes par g^ les u se comportent 

 comme des fonctions rationnelles des x sur une portion de la multiplicité 



Le groupe g' permutable avec g s'obtient en permutant dans les équa- 

 tions de g les indices i et /.• des x\ si donc on fait dans les fonctions u 



/t = I, 2,\ . ., « + i\ -a^/.H+i 



A = 1 , 2 , . . . , /i ) X 



«H-l, H + 1 



