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on obtient des fonctions de n variables x^ . . .x^ se répétant par un groupe 

 discontinu de transformations homographiques; nous les appellerons fonc- 

 tions hyperklcinéennes. 



D'après M. Eaviques (licndiconli dei Lincei, 1893 ), un groupe continu 

 de transformations birationnelles peut être regardé comme un groupe homo- 

 graphique où l'on a fait un changement de variables birationnel. Donc 

 toutes les fonctions se répétant par des groupes discontinus de transforma- 

 tions birationnelles issus de groupes continus s'obtiennent en faisant dans 

 une fonction liyperkleinéenne un changement de variables birationnel. 



IV. Si dans une fonction ultrakleinéenne on fait j>^ = o,on obtient une 

 fonction de x et z qui admet un théorème de multiplication birationnel; le 

 second cas du paragraphe I est le cas de Poincaré,le premier est celui traité 

 par M. Picard. 



V. M. Picard ('), dans ses recherches sur les groupes continus des trans- 

 formations birationnelles sur une multiplicité algébrique, a obtenu les 

 résultats suivants : Soit /('.ri, a\,, ..., x,^) une fonction abélienne, nous 

 appellerons fonction abélienne, la fonction de /j variables 



a, ..., A étant des constantes, ou une fonction rationnelle d'un nombre quel- 

 conque de telles fonctions. Si ce'. = J) {oo\ t.^^ . . ., z„) sont les équations d'un 

 groupe continu de transformations birationnelles et les ti des paramètres 

 canoniques, les/, sont des fonctions abéliennes des /. 



On en déduit immédiatement qu'une fonction ullra-kleinéenne peut se 

 mettre sous la forme 



y 



"=/ 



-, — j log — 



J-J 



f{t^, ^2, ^3) étant une fonction abélienne, en faisante = [jlj, z = [j., on aura 

 une fonction kleinéenne. On voit que cette opération revient à prendre la 

 limite d'une fonction abélienne lorsqu'on s'éloigne à l'inlini. Ceci s'étend 

 aux fonctions kyperkleinécnnes. 



A un changement de variables rationnel-logaritimiique près, les fonc- 

 tions kleinéenncs et toutes les transcendantes qui se répètent par des groupes 

 discontinus de transformations birationnelles issus de groupes continus, 

 sont des fonctions abéliennes au sens de M. Picard. 



') M. l'iCAKi), Sur la Lhcorie des groupes {Rendiconli di Palernio, iSqS). 



