SÉANCE DU :28 AOUT 1922. 897 



Posons I —x = x*,p(ï — cc*)=p*(x*)\iivecol(x*), A*, S*, ...|. On 

 s'assure que 



(9) a;, = A„, >* — A«, C*=:l — C„, s*. = /i — s„. 



L'addition de (9) et de la même égalité écrite pour jo*(^*) donne 



2 



lim(^S„- ^j =2(^"" ^) =^(^^*-^)- 

 1 



On établit alors sans difficulté la convergence des séries et du pro- 



n 



duit j j iG7v„. 



1 



5. Sous les conditions complémentaires 



p{x)=: œ^-^{i — .c)?~'Y(.r), a > o, p > o, q{x)^E^ q{\ — x), 



«„=4«2»'+P-2 A' (.+ £„) 



e n a — 3 , £„, £„~>o pour « = œ, 



A'> o ne dépend que de la fonction (j{x). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur V équivalence des méthodes de sommation de 

 Cesàro et de Hôlder pour les limites multiples. Note (') de M. Ch. N. Moore, 

 transmise par M. Hadamard. 



L'équivalence des méthodes de sommation de Cesàro et de Hôlder pour 

 les séries simples a été établie de plusieurs façons. On est naturellement 

 conduit à supposer qu'il existe une équivalence correspondante entre les 

 méthodes analogues pour la sommation des séries multiples. Cette suppo- 

 sition est exacte, et j'ai obtenu une démonstration assez simple de ce fait. 

 La méthode que j'ai employée est une généralisation de celle utilisée par 

 M. L Schur dans le cas des séries simples. Elle est basée sur l'établissement 

 d'une identité fondamentale entre les moyennes de Cesàro. Pour éviter de 

 longues formules j'écrirai cette identité pour le cas des séries triples. La 

 formule générale sera évidente d'elle-même. 



(') Séance du 21 août 1922. 



