SÉANCE DU 4 SEPTEMBRE 1-22. 419 



l'espérance mathématique et les valeurs moyennes. Du théorème de Tche- 

 bycheff on peut déduire comme cas particuliers les théorèmes de Poisson et 

 de Bernoulli. 



Dans les lignes qui suivent, je me permets de faire une remarque sur le 

 théorème de Tchebychefî. 



Soit X une quantité pouvant prendre les valeurs distinctes x^ avec la 

 probabilité/),, x.^ avec Ki probabilité y?o, ..., x^ avec la probabilité jd^, en 

 sorte que jo, -h /)o H- . . . -f- /»/c = i . La valeur moyenne m de la quantité x est 

 définie par Texpression 



m = /j 1 .r 1 + p, .r, + . . . 4- Pk ^k^ 



La valeur moyenne de la /i'*""" puissance de la valeur absolue de Técart 

 X —m\ est définie par l'expression 



Soit rt > a,j ('). De l'égalité 

 on tire, en posant 



|.r/— m I — /i,-, 



et en divisant par a" ^ 



h'\ h", h'i 



t II 



'•a" ^^ a" 'a" a" 



Désignons par A', h", . . . les écarts par rapport à la valeur moyenne supé- 

 rieurs à a en valeur absolue et négligeons les autres; soient p' , p', . . , les 

 valeurs des probabilités correspondant aux écarts conservés. On aura 



P h p" h . . . < — 



' a" ' a" a" 



et, a for lion y puisque - > — , • • ■ sont >> i , 



(0 p' + p" + ...< 



l^ 

 «? 



Si P désigne la probabilité pour que la valeur numérique de l'écart d'une 

 observation soit inférieure ou égale à a, le premier membre de (i) est évi- 



(') Le même procédé est utilisé par M. Pizzelti par sa démonstration du théorème 

 de Tchebycheflf. (Voir Broggi, Théorie des assurances sur la vie, p. 26.) 



