44o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



GÉOMÉTRIE DE SITUATION. — Les multiplicités cantoriennes. Note (') 

 de M. P. Urysohx, présentée par M. Henri Lebesgue. 



Le problème de la définition purement géométrique des lignes peut être actuellement 

 regardé comme complètement résolu. Nous avons, en effet, les notions suivantes r 



1° Les lignes cantoriennes, c'est-à-dire les continus plans sans points intérieurs; 



2° Les continus irrédncliljles enlre deux points (Zoretti); 



3° Les arcs simples ( Janiszewski), notion qui se confond avec celle d'une courbe de 

 Jordan sans points multijdes. 



11 est d'ailleurs à remarquer que, de ces trois notions, la dernière seule est appli- 

 cable à un espace à plus de deux dimensions. En effet, un continu irréductible ne peut 

 plus être regardé dans ce cas comme une ligne, car il peut, par exemple, contenir tout 

 un carré (Janiszewski). On peut même construire (dans l'espace E3 à ti'ois dimen- 

 sions) un continu irréductible qui est la frontière commune de deux domaines connexes. 

 A plus forte raison, un continu sans points intérieurs dans E3 n'est plus une ligne, 

 mais peut être une surface, même quelconque, car l'absence de points intérieurs 

 n'exclut que les volumes; et nous n'avons, jusqu'à présent, aucun moyen de distinguer 

 entre elles les lignes et les surfaces (^). Il y a même plus. Il n'existe actuellement 

 aucune définition purement géométrique d'une surface, soit cantorienne (c'est-à-dire 

 répondant à la notion vulgaire de surface de la même manière que la définition d'une 

 ligne cantorienne correspond à la notion intuitive d'une ligne), soit Jordanienne (c'est- 

 à-dire homéomorphe à un carré). Les définitions jusqu'à présent proposées (Zoretti, 

 Janiszewski, Yoneyama_ (**)] ne peuvent être regardées comme satisfaisantes. 



On est ainsi amené à poser les problèmes suivants : 



I ° Donner une définition des lignes cantoriennes valable pour un espace 

 quelconque ; 



2° Dé/inir les surf aces et, plus généralement, les multiplicités cantoriennes 

 à n dimensions. 



Ces problèmes sont complètement et pour la première fois résolus dans 

 cette Note. Les définitions fondamentales sont suivies de quelques théorèmes 

 dont je ne puis, faute de place, donner ici que les énoncés. 



Je suppose que les ensembles considérés sont situés dans un espace 

 métrique [«classe ((D)» de M. Fréchet] compact £ ; donc, en particulier, 

 nos considérations seront applicables aux ensembles bornés des espaces 



(') Séance du 4 septembre 1922. 



(^) D'après une définition proposée par M. Zoretti (Acla mathematica, t. 36), 

 toute surface convexe serait une liene. 



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(') Janiszewski et Yoneyama définissent une surface (Jordanienne) comme ensemble 

 d'arcs simples. 



