SÉANCE. DU II SHPTEMBRE I922. 4^1 



euclidiens. Soit G un ensemble quelconque (fermé ou non) de c, ce un 

 point de G. 



Définition 1. — Nous dirons que l'ensemble B, agrégé à G, i-sépare le point 

 X, s'il est possible de décomposer la différence G — B e/î deux ensembles KelT) de 

 telle manière que: i" A ei D soient séparés (Hausdoiff, Mazurkiewicz), 

 c'est-à-dire quMls soient sans points communs et qu'aucun d'eux ne contienne 

 des points-limites de l'autre; 2" A contienne x; 3° A ^i B soient contenus 

 dans une sphère de centre x et de rayon égal à £, 



Définition '2q. — Si, quel que soit s, le point x de d peut être i-séparé par un 

 ensemble vide, nous dirons que x est de dimension o {par rapport à G) : 

 dim^ G= o. 



Définition Sq. — Si tous les points de G sont de dimension o, G lui-même sera 

 dit de dimension o : dim G = o. 



Les ensembles et les points de dimension n seront définis par induction; 

 supposons, en effet, que les dimensions <^n soient déjà définies. Alors : 



Définition 2„. — Si x n'est pas, par rapport à G, de dimension <^ n, mais 

 peut être, quel que soit £, i-séparé par un ensemble B de dimension <^ n, nous 

 dirons qu'il est de dimension tî : dim^G = /z. 



Définition 3„. — Si tous les points de G sont de dimension < n, et s^il y en a 

 qui soient de dimension ^= n, C sera dit de dimension n : dim G ^ ti. 



Théorème 1. — Soit § un ensemble fermé de dimension n. H est possible, 

 quel que soit i, de le couvrir d'une famille finie #i, ^o, -", ^k d'ensembles 

 fermés de diamètres <^i de telle manière qu aucun point de § ne soit couvert 

 par plus de n -\- \ de ces ensembles ; mais, si £ est assez petit, il y aura certai- 

 nement des points communs à n -h 1 ensembles éi différents. 



La même propriété a été démontrée par M. Lebesgue (') pour les cubes 

 7i-dimensionnels. Il en résulte immédiatement que : 



Théorème IL — Chaque point intérieur x d'un ensemble {fermé ou non) G 

 situé dans un espace euclidien E^^ est de dimension n; l'ensemble G est lui- 

 même de dimension n. 



Par contre : 



Théorème IIL — Un ensemble {fermé ou non) G sans points intérieurs, 

 situé dans E„, est de dimension <[ n. 



Donc, en particulier, un continu plan est une ligne cantorienne ou non, 

 suivant qu'il est de dimension 1 ou 2. La définition suivante semble donc 

 bien naturelle : 



(') Fundanienta Mathematicœ, t. 2. ' 



