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Définition 4. — Un continu de dimension i Çsitué dans un espace quel- 

 conque) sera dit « une ligne cantorienne » . 



Définition 5. — Une multiplicité cantorienne est un continu K de dimen- 

 sion /z, tel que l'ensemble de points de dimension n (par rapport à K), soit 

 partout dense sur K. 



La convenance de celte dernière définition est confirmée par le théorème 

 suivant : 



Théorème IV. — Un continu K de E„, frontière commune de deux domaines 

 (connexes ou non), est une multiplicité cantorienne de dimension n — i. 



La structure des ensembles fermés de dimension n est révélée par le : 



Théorème Y. — Un ensemble fermé § de dimension n peut être décomposé 

 en n -hi^ mais ne peut pas être décomposé en n ensembles de dimension o. 



Les ensembles composants sont non fermés; car pour les ensembles 

 fermés, nous avons par contre : 



Théorème VL — Si V ensemble {fermé ou non) <ï> est la somme d'un nombre 

 fini ou dénnmbrable d'ensembles fermés i^ de dimension ^/i, $ est également 

 de dimension non supérieure à n. 



La dimension des ensembles fermés n'est pas due à la superposition de 

 portions de dimension inférieure, mais elle résulte de la présence de ce que 

 l'on pourrait appeler un /loyûr;^ dimensionnelV .'^ox^v^X,^ en effet, ^un ensemble 

 fermé de dimension n^ Q l'ensemble des points de § de dimension n (par 

 rapport à ^), P = Q + Q'. On a : 



Théorème YII . — Ç^ est dense en soi. 



Théorème VIII. — Dim. P = zi; de plus, chaque point de Q a (par rapport 

 à P) /a même dimension n. 



HYDRODYNAMIQUE. — Sur les équations du mouvement à deux dimensions 

 de solides dans un liquide avec tourbillons . Note Q) de M. D. hiABouciiixsKi, 

 présentée par M. G. Kœnigs. 



Les équations générales du mouvement de corps solides dans un fluide 

 parfait, incompressible, se mouvant irrotalionnclicment (^), peuvent être 

 facilement étendues aux mouvements parallèles à un plan fixe de solides 

 dans un fluide avec tubes de tourbillon infiniment déliés. Remplaçons 



(*) Séance du 4 septembre 1922. 



(*) Comptes rendus, t. 173, 1921, p. 826; Thèse, 1922, p. iio (Gaiithier-Villars). 



