SÉANCE DU l8 SEPTEMBRE I922. 465 



dont les quatre coordonnées «>, sont des nombres réels quelconques, le plus 

 naturel semble à première vue d'appeler entier un qualernion dont toutes 

 les coordonnées sont des nombres entiers ordinaires. C'est la définition 

 lipschilzlenne. On sait qu'elle aboutit à une arithnomie irrégulière, c'est- 

 à-dire où les théorèmes généraux analogues à ceux de la théorie des 

 nombres classique présentent de curieuses exceptions et des anomalies 

 déconcertantes. Hurwitz, au contraire, arrive à une arithnomie régulière, 

 d'une simplicité analogue à celle de l'arithmétique classique, en délinissant 

 comme suit : un quaternion est dit entier s'il est de la forme 



- ^ (^^.+ - j ^. -i- (/'.+ -j U+ («:3+ - ) ^3, 



OÙ les quatre n-, sont des nombres entiers ordinaires d'ailleurs quelconques. 

 Hurwitz a basé sa définition sur le théorème suivant : 



Dans le corps \ R j des quaternions à coordonnées rationnelles, le plus grand 

 domaine d'' intégrité contenant les unités 1 , ? , , îo, î^, a la base 



I , . . . , 



f,, l,, l-i, p= -(1 + /i,+ «2+ 's)- 



Dans son dernier livre ('), Hurwitz a donné une démonstration de ce 

 théorème énoncé déjà en 189G. Or, ce théorème hurwitzien est un cas par- 

 culier du théorème plus général que voici : 



Dans le cojps \ R j des quaternions à coordonnées rationnelles^ le domaine 

 holoïde le plus général contenant le nombre i est formé à l'aide de quatre qua- 

 ternions linéairement indépendants à la base (") 



'in . m . 

 I0-+- -7- h 



ab ' b 



On a posé, pour abréger, 



«- + ,:»- , , 



2 C2 Y^^ + ^( 2 Cl — c ), 



(') Vorlesangen ilber die Zahlentheorie der Quaternionen, 19 '9- 

 (-) Le signe = (doublement égal) signifie égal par définition» 



