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et peut être (^quel que soit i) z-sépnré par un ensemble dénomhrable^ nous dirons 

 que c'est un point d'indice 5^^ : ind^ = ^î^. 



Définition 4. — Si Von n^apas ind^-K^ ^îp (le cas ind,.Tv = co y compris) 

 nous auro/is ind_,.K = c (puissance du continu). 



Nous dirons, pour abréger, qu'un point d'indice ^3 est un point de rami- 

 fication. 



On se rendra aisément compte du rapport entre les notions d'indice de ramification 

 et de l'ordre de ramification de M. Young. L'ordre ne surpasse jamais l'indice (à une 

 exception près : on peut avoir ind^. K = o) avec ord^K^No), mais peut bien lui être 

 inférieur. Il est d'ailleurs à remarquer qu'une ligne extrêmement compliquée (par 

 exemple un continu indécomposable) peut n'avoir que des points d'ordre ^2. Nous 

 verrons qu'il n'en est pas ainsi pour l'indice ; c'est justement pour cela que nous 

 ne connaissons actuellement que peu de chose en ce qui concerne l'ordre (exception 

 faite pour les exemples de M. Sierpinski et les théorèmes spéciaux de JaniszcAvski)) 

 tandis que l'étude de l'indice peut être poussée assez loin. Les théorèmes de Janiszewski 

 se rapportent aux points qu'il nomme simples {x est simple si, dans un certain voisi- 

 nage de œ^ K est composé d'un nombre fini d'arcs simples sans autre point commun 

 que a-). Il démontre notamment que : 1° Si tous les poinls de K sont simples, K est 

 composé d'un nombre fini d'arcs simples ; 2° Si, de plus, l'ordre de tout point est Si 

 K est un arc simple ou une ligne simple fermée. 



Théouèmi: î. — Une ligne sans points de ramification est un arc simple ou 

 u n e lign e simple fermée . 



C'est une généralisation du théorème II de Janiszewski i[ui me paraît considérable, 

 car, au voisinage d'un point individuel d'indice i ou 2, K peut avoir une structure très 

 compliquée. Le premier théorème de Janiszewski ne peut être généralisé de même, 

 car il existe des lignes n'ayant aucun point d'indice supérieur à 3 et qui ne peuvent 

 être décomposées même en une infinité dénombrable d'arcs simples. 



La démonstration du théorème I repose sur Femploi des délinitions et 

 des propositions suivantes, qui présentent, peut-être, elles-mêmes quelque 

 intérêt. 



Définition 5. — Soit P un sous-continu de K. Nous dirons que cest un con- 

 tinu de condensation complète de K si Ion peut extraire de K — P une suite 

 des continus P,, P^, . . ., P,j, convergeant vers P (convergence au sens de 

 M.HausdorfF)(')' 



On \ oit immédiatement que tout continu de condensation complète est un continu 

 de condensation au sens de Janiszewski, la réciproque n'étant pas vraie. 



(') 1'. Halsuoiiff, Ivap. VIL § 5, Algeschlosscner Unies. Grundziigc de Men- 

 genlehre. 



