SÉANCE DU 2 5 SEPTEMBRE I922. 483 



Théorème II. — De toute suite d'ensembles fermés on peut extraire une 

 suite convergente. {N. B. — Nous supposerons toujours Tespace compact.) 



Théorème III. — Tout point de second genre (Mazurkiewicz) (') de K 

 appartient à un continu de condensation complète. 



Théorème IV. — Tout point appartenant à un continu de condensation 

 complète est d'indice i^^ om c. 



En particulier tout point d'un continu indécomposable est d'indice c. 



Théorème V. — Tout continu de condensation contient des points de rami- 

 fication. 



11 peut d'ailleurs n'en contenir qu'une infinité dénonibrable, tous ces points étant 

 d'indice =3. Les points d'indice «„ et c peuvent, d'autre part, n'appartenir à aucun 

 continu de condensation. Le Théorème V admet, néanmoins, une sorte de réciproque 

 que voici : 



Théorème VI. — Si la ligne K contient un point d'indice ^Îq ou c, elle 

 contient aussi un continu de condensation. 



Elle peut d'ailleurs, dans le cas de l'indice Ko, ne contenir aucun continu de conden- 

 sation complète. Pour l'indice c la question n'est pas résolue. 



Les points d'indice fini et co peuvent être isolés. Il n'en est pas ainsi pour 

 les points d'indice ^0 et c, qui présentent certaines analogies avecles points 

 de dimension supérieure. On a en effet : 



Théorème VII. — L'ensemble des points de K dont l'indice est >î^„ est 

 dense en soi; la numc propriété subsiste pour V ensemble des points d'indice c. 



Théorème YIII. — Si K est la somme d'un nombre fini ou d'une infinité 

 dénombrable de continus K, ne contenant pas de points d'indice c {par rapport 

 à K,), Iv lui-même n'en contient aucun. 



Ce théorème serait, par contre, en défaut si l'on remplaçait c par 1: No ; on peut, en 

 effet, construire deux continus sans points d'indice >4, et dont la réunion est un 

 continu possédant des points d'indice x^,. 



On a enfin le théorème général suivant (qui possède un analogue pour 

 la dimension): 



Théorème IX. - L'ensemble des points d'indice ^'^a{a = n, w, 5^05 ^) ^-^^ 

 la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles fermés). Il peut, d'ailleurs, 

 arriver qu'il ne soit pas fermé. 



C) Fundamenta Mat/ienuUicali t. 1. 



