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théorème déjà établi ( ' ). Pour p = q = j- =: o, on retombe sur le théorème 

 de M. Schottky. Si les | «/] sont bornés, il en est de même de ù. 



Au lieu de se donner les a^, c'est-à-dire les valeurs de /(r) et de ses 

 g premières dérivées en un point fixe de (D), on peut aussi se donner : 

 soit les valeurs de /(z) en q -\- i points fixes «^e (D); soit les valeurs de /( z-) 

 et de ses (olj — i) premières dérivées en des points fixes Xi(i =i, 2, ..., A), 

 avec la condition 



«1 + «2 + ...+ «/,=: 7 + I . 



Les fonctions /(z) qui remplissent les conditions précédentes forment 

 des familles quasi normales, d'ordre /• au plus, et dont aucune fonction 

 limite n'est la constante infinie. 



4. Considérons les fonctions /"(r^) données par le développement 



dans lequel les ^ -h r -f- 2 premiers coefficients sont donnés : 



Il existe un nombre R ne dépendant que des nombres p, q, r et des valeurs 

 a^, rt,, ..., «^+,+, tel que, dans tout cercle de centre origine et de rayon supé- 

 rieur à R, toute fonction j^(s) qui admet ces q -\' r -\- 1 coefficients, ou bien 

 cesse d'être méromorphe, ou bien prend plus de p fois la valeur un, ou plus de 

 q fois la valeur zéro, ou plus de r fois la xmleur infinie, à condition que le 

 déterminant 



'■fj — r+i "(/— /M-S 



^f>, 



'rj+'2 • ■ • "7+/-4-1 



soit digèrent de zéro. 



Ce théorème constitue une extension, aux fonctions méromorphes, d'un 

 théorème de M. Landau. Pour r = o, on retrouve une proposition établie 

 précédemment (-). Pour p = q = r = o, on retombe sur le théorème de 

 M. Landau : la condition ùif^o devient alors a^ f o. 



La condition L^f=.o signifie qu'il ne peut exister de fraction rationnelle 

 admettant q zéros et r pôles, et dont le développement en série entière 

 possède les <7 -I- r -t- 2 coelïicients donnés. 



Au lieu de se donner les ai, on peut aussi se donner les valeurs de f{z^ en 

 q -h r -h 2 points fixes. Le nomjjre R existe à condition qu'un déterminant A 



C) Sur les familles quasi normales {Comptes rendus, l. 174, iga^, p. 22). 

 (2) Sur une extension d'un théorème de M. Landau {Comptes rendus, t. 174, 

 1922, p. i43). 



