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CORRESPOIVDAIVCE. 



M, Driencourt prie rAcadémie de bien vouloir le compter au nombre 

 des candidats à la place vacante, dans la Section de géographie et navi- 

 gation, par le décès de M. L. Favè. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. -- Sur les progressions d''ordre supérieur. 

 Note de M. G. Bratu, présentée par M. Appell. 



1. Étant donnée une suite de nombres 



(l) '^05 "lî "25 •••) ^ni •••1 



nous les considérerons comme étant des ordonnées équidislantes des points 

 d'une même courbe plane C. Ainsi, si x^ et h désignent des nombres arbi- 

 trairement choisis, on peut joindre par une courbe C tous les points P„ de 

 coordonnées œ = œ^-h nh, y = u^. 



Réciproquement, étant donnée une courbe plane C, on peut définir une 

 suite (i) par des ordonnées équidistantes de cette courbe. 



En nous servant de cette représentation géométrique, introduite par 

 M. D. Pompeiu pour l'étude des courbes par les suites récurrentes, nous 

 allons faire quelques remarques sur les progressions d'ordre supérieur. 



2. Désignons par A/,w„ (« =: o, i, 2, ...) les différences d'ordre yj de la 

 suite (i). 



Si ^p+^ M„= quel que soit n, la suite est une progression par différences 

 d'ordre/» et l'on peut déterminer un polynôme P(^)de degré/?, qui prenne 

 les valeurs z/^, u^, u.^, ..., u^ pour x = œ^,, x^^ + h, ..., Xf^-{- ph respecti- 

 vement. 



La courbe y = P(:r) passe par tous les points P„(^o + ^f^i "«) correspon- 

 dant à la suite (i). 



En effet, les coefficients du polynôme 



satisfont simultanément au système 



