SÉANCE DU 9 OCTOBRE 1922. 563 



avec Xk=XQ-{- kh^ car l'éliminant se réduit, à un facteur près, à l'expres- 

 sion de ^p+^lln nulle par hypothèse. Par suite, si la courbe passe par P^, 

 P,, . . ., P^,, elle passera aussi par P^,+., et, en général, par V^. 



Ainsi les nombres «„ sont les valeurs d'un même polynôme P(a;) pour 



X^= Xq-\- nh (« r=: O, I, 2, . . .) 



OU les ordonnées équidistantes d'une même courbe C[7 = P(.x)]. Nous 

 dirons que la suite (i) est xmQ progression polynomiale d'ordre p. 



Inversement, toute courbe polynomiale r = P(a7) de degré p définit, 

 par ses ordonnées équidistantes (à h arbitraire), une suite polynomiale 

 d'ordre p. 



Lorsque h varie, les termes de la suite changent. Mais toutes ces suites^ 

 correspondant à une même courbe C, satisfont à une même relation de récur- 

 rence 



( 2 ) Un+p+X — (/^ + I ) ««+/. + ^ i l^ Un+,>-x — ...+ (— I y^' lin — O 



ou, symboliquement, à l'échelle de récurrence 



(3) (« — l)/'+'!^0. 



3. Pour/) = I la courbe j = P(.z") est une droite et la iuite (i) est une 

 progression arithmétique ou rectiligne. La relation de récurrence correspon- 

 dante 



(t,i+2— ■2U„ + i+ 11,1=0 



permet de calculer tous les termes i/„, lorsqu'on connaît «o> "i ^t n. On 



trouve 



i/„:=nu^ — {n — i)«o 



et l'on en déduit toutes les formules élémentaires relatives aux progressions 

 par différences. 



La suite est aussi déterminée par deux termes quelconques u^, Ug et leurs 

 rangs. En effet, soient P^,, P^ deux points d'ordonnées u^^ u^ et d'abscisses 

 arbitraires Xp, x^. Soit D la droite Py,Py- En prenant 



h ■=! ^— j Xf. = x„ — ph, 



'I — P 



la suite (i) est formée par les ordonnées des points V ,^{x^-\- nh^ //„) de la 

 droite D. 



On trouve, pour le terme général, 



n — q n — p 



n,i~- «/<H "v 



p—q q—p 



