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On en déduit un moyen simple pour inscrire a moyens arithmétiques 

 entre deux nombres donnés. 



4. PourjD = 2, la courbe j = PC-*^) est une parabole et la suite (i) peut 

 être appelée une progression parabolique. 



La relation de récurrence correspondante 



( 4 ) lln+z — 3 "„+2 + 3 M„^i — H„ = O 



permet de calculer tous les termes ii,i à l'aide de i^o, m, , u., et n. 



M. D. Pompeiu en a déduit un moyen simple pour construire les points 

 d'une parabole avec un trapèze parabolique. 



Pour le terme général de la suite, on trouve la formule 



( 5 ) lu,,:^ n{n — I ) «2 — in{n — 2 ) «i 4- ( « — i ) ( " — '-^ ) "o; 



que Ton obtient en posant u = V{x) = Ax- -h Bx + C et en éliminant A, 

 B, C entre les équations 



On en déduit aussi une formule pour la somme S„ des n premiers termes 

 de la suite parabolique. 



Plus généralement, la suite peut être déterminée par trois termes quel- 

 conques Uj,^ Uç, u,. et leurs rangs. En effet, la formule (5) appliquée 

 pour n=p, y, r donne trois équations linéaires, qui permettent de cal- 

 culer Wq, u^ , u.^ et la formule (5) donne ensuite u,^ à Taide de u^,, u^, u^. 



Le déterminant du système est 



'^iP -q){Ç — f){r-p)7^o 



et Ton trouve, quel que soit n 



((\\ n — (/^ — V)(/^ — /•) {n-r){n—p) {n—p){n —g) . 



{p — q){P - r) ' {q — r){q—p) {r — p){r — q) 



c'est la formule d'interpolation de Lagrange. 



Le problème d'interpoler des moyens paraboliques entre deux nombres 

 donnés est indéterminé. Mais si l'on se donne trois nombres a, b, cetsil'on 

 veut interpoler [j. moyens paraboliques entre « et ^ et v entre b et c, le pro- 

 blème est déterminé et résolu par la formule (G), où l'on doit faire 



5. Tous ces résultats se généralisent facilement pour une progression 

 polynomiale d'ordre/). 



