SÉANCE DU l6 OCTOBRE I922. 607 



tégration fermé c contient d'ailleurs les points u = dz i et le point 11 = a-^ 

 le contour d'intégration y est la demi-circonférence de rayon i correspon- 

 dant aux ordonnées positives. 



Après avoir remplacé les lignes trigonométriques par des exponentielles 

 imaginaires, ce qui ramène la question au calcul d'intégrales portant sur 

 des facteurs élevés à de hautes puissances, la première idée qui vient 

 à l'esprit est de chercher à intégrer successivement par rapport aux 

 variables u et :;, en appliquant les théories développées dans mon second 

 Mémoire sur l'approximation des fonctions de grands nombres ('). Il arrive 

 que l'on se heurte alors à des difficultés insurmontables. Pour s'en affran- 

 chir, il est essentiel de transformer les intégrales de façon que les éléments 

 différentiels ne dépendent plus chacun que d'un facteur unique élevé à une 

 haute puissance et fonction d^une seule des variables d'inlégration. Je suis 

 parvenu à satisfaire à cette condition par un changement de variable que 

 je me propose d'indiquer dans la présente Communication. 



Posant 



m 



t=zu — ci-{-ôz\/i — 11'^, 



on remplace la variable u par la variable t, en conservant la variable z. On 

 démontre, par des considérations longues et délicates, que l'on peut prendre 

 comme contour d'intégration de la variable t, un contour fermé G, dont 

 la forme et la position, dans le plan, sont indépendantes de la situation de 

 la variable z sur le chemin y. Ce contour jouit d'ailleurs de la propriété de 

 renfermer les racines de l'équation 



P~i+ 6^z''—{oc+ ty=o 



qui sont des points singuliers du nouvel élément différentiel. 



Voici alors comment se présente le problème, pour l'une des quatre inté- 

 grales à évaluer après la transformation (les autres donnent lieu à des 

 calculs analogues). On est ramené au calcul de 



L'intégrale / est une fonction de ^, dont on peut avoir l'expression expli- 

 (') Mémoires de l'Académie des Sciences^ t. 57, 192a. 



