SÉA.NCE DU 23 OCTOBRE I922. 667 



Ao, A,, ..., A„, ... étant les points de la courbe G correspondant aux 

 valeurs w, u -^ h, u-hn/i, ... du paramètre u, les triangles recli- 

 lignes AoA,Ao, A, AoA.j, ... sont tous de rncine aire et de même orien- 

 tation, et cela quels que soient u et h. 



Nous supposerons que les fonctions /et (o admettent des dérivées de tout 

 ordre. 



On voit immédiatement que la condition nécessaire et suffisante à laquelle 

 doivent satisfaire les fonctions / et '^ est 



(i) if(^u -^ ■2/i)~J\n + /,)][o{u +3/i)-o{a)] ■ 



^ [f{n + 3/0 —/(«)] [o{u -4- •>./0 - 9(«+ h)]. 



En prenant la dérivée du quatrième ordre par rapport à /f des deux 

 membres, on obtient, après avoir fait h = o, 



(2) 



f'{u)o"'{u)~o'iu)/"'{u) = o. 



De même, en prenant la dérivée du sixième ordre, par rapport à /?, des 

 deux membres de (i), on trouve la condition 



5/' ( u ) cp('') ( /O - ;> ?' ( '0/'" ( " ) + 9f" ( " ) ?^" ( " ) - 9 9" ( u )f^'^ ( '0 = fi. 



Cette dernière relation, comparée à la relation (2) dérivée deux fois par 

 rapport à u, nous montre que l'on doit avoir 



(3) 



/'('0?'^'(«)-9'(")/^^U")--o. 



Nous allons déterminer les fonctions /" et cp satisfaisant aux conditions (2) 

 et (3). Posons, pour cela, 



(4) F(,0-=/'('0 .et ib{u) = r^'{a). 

 De la relation (2) il résulte 



(p{u)F'{it) — V{u)(^'{u) —h, 

 A étant une constante. Par suite, 



(5) F(„) = *(«)[A/j;^j+f. 



B étant une autre constante. 



Des relations (2), (4) et (5) on déduit 



F'^H«) = *'"(«) 



A/-;-+B -I-2A.-;— — ^A —TV- : 



relation qui devient, en multipliant ses deux membres par $(w) et en tenant 



