SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1922.. 669 



Attachons-lui l'espace mobile c(ii, v) défini dans notre Communication 

 précédente ('). Au point P, de coordonnées \, Y, Z de Tespace fixe E, 

 correspondra dans c{u, v), un point P' de coordonnées ç, r,, '(• 



Par tout point M de (M), passent deux lignes du réseau, l'une le long de 

 laquelle u varie seul, l'autre le long de laquelle v varie seul. Désignons 

 par MT< la tangente à la première et par MT. la tangente à la seconde. A 

 tout point de MT, correspondra dans c:(w, v), un point de l'axe Oj:-; à tout 

 point de MTo, un point de l'axe Oj; à tout point de ()M, un point de O:;. 

 En particulier, à M correspond le point O et, à O, le point A de coor- 

 données o, o, — I. 



Soient M, le point de MT, dont le lieu (M,)„ reste tangent au 

 plan OMT,, quand avarie seul, et M,, le point de MT. dont le lieu (M.)„ 

 reste tangent à OMTo, quand u varie seul. A M, correspondra M'^, de 



coordonnées — jj^ o, o, et à Mo, le point M',, de coordonnées o, ji o. 



Si N, et No sont, respectivement, les points où les tangentes à (M,),, 

 et (Mo),, coupent la droite OM, les points correspondants N', et N., auront 



c' c' ' 



pour coordonnées o, o, , _ , et o, o, , _ ■> ^^ et /c désignant, selon 



l'usage, les invariants de l'équation de Laplace vérifiée par les fonctions x, 

 y, z de u et de c. De là, si c' diffère de zéro, une interprétation géomé- 

 trique du rapport j-> laquelle s'énonce comme suit : 



Le rapport des invariants h et k de V équation de Laplace définie par un 

 réseau non conjugué (M), rapporté à des axes d'origine O, est égal au rap- 

 port anharmonique des points M, O, N, ^ï No. 



On en déduit : 1° que la condition nécessaire et suffisante pour que (M) 

 soit à invariants égaux est que N, et No coïncident; 2° que la condition 

 nécessaire et suffisante pour que (M) ait ses invariants égaux et de signes 

 contraires est que N, et No soient conjugués harmoniques par rapport 

 à O et M. 



Supposons encore c'± o, l'équation k = o exprimera la condition néces- 

 saire et suffisante pour que la série réglée engendrée par MT, , quand avarie 

 seul, admette une directrice rectiligne passant par l'origine. Une propriété 

 semblable correspondra au cas où l'autre invariant serait nul. 



Considérons, à présent, les cônes C de sommet O, tangents à OMT,, le 



(') Voir dans les Comptes rendus, t. 175, 1922, p. 487, une Noie dont nous con- 

 servons ici les notations. 



