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long de OM, et à OMT., le long de OM^. La transformation (T ), attachée 

 au point M, leur fera correspondre, dans ^" (m. t'), des cônes F, ayant pour 

 équation générale 



(i) • (/^'i; + a'-/) +^-h i)-— a/.iVi — o, 



OÙ A désigne un paramètre arbitraire. Parmi les cônes C, il en est un. ('.,. 

 qui a un contact du second ordre avec (M,),,, en M,. Le transformé F,, 

 dans c(u, v), s'obtiendra en faisant, dans l'équation (i), À = /.De même, 

 au cône Co ayant avec (Mo),, un contact du second ordre en JVL,, corres|)ond 

 un cône T.,, dont l'équation se déduit de (i), en posant \ = h. Si ^' ou A sont 

 nuls, F, ouFa nesontplus^délînis; nous prendrons alors pour cônes F, ouF^. 

 le plan AM', M'^ compté deux fois. 



Si h = k, F, et Fo coïncident. Nous énoncerons, par suite, la proposition 

 suivante, généralisation de celle que l'on doit à M. Kœnigs pour les réseaux 

 plans(')et que M. Darboux a étendue aux réseaux conjugués tracés sur une 

 surface (- ). 



Le long de deux lignes dUin réseau quelconque, qui se croisent en un point 

 M, on considère les deux séries réglées formées par les tangentes aux lignes de 

 Vautre famille. En les projetant d' un point fixe G, on obtient deux familles 

 de plans et., par suite., deux cônes enveloppes . Sur chacun d'eux, on prend les 

 génératrices de contact de trois plans consécutifs avec le cône, en partant des 

 deux plans qui se coupent suivant OM. Cela étant, la condition nécessaire 

 et suffisante pour que V équation ponctuelle relative au réseau considéré, 

 rapporté à un système d'axes d'origine O, ait ses invariants égaux est que les 

 six génératrices obtenues comme il vient d^être dit appartiennent à un même 

 cône du second degré. 



De ce quii (précède découle encore une interprétation géométrique du 

 rapport des invariants de l'équation de Laplace relative au réseau (M). Les 

 deux cônes F, et Fa sont, en effet, liomologiques, le centre d'homologie 

 étant M'j ou M^, le plan d'homologie, respectivement, zOy ou jO^ et le 

 coefficient d'homologie étant égal au rapport des invariants keV/i. L'homo- 

 iogie est d'ailleurs conservée dans la transformation (T). On a donc le 

 théorème suivant : 



Les cônes C, et C, sont liomologiques, le centre d' homologie étant M^ ou Mo, 



(') G. Kœnigs, Sur les réseaux plans à invariants égau.v et les lignes asyniplo- 

 tiques {Comptes rendus, t. IH, 1892, p. 55). 



(^) G. Darboux, Leçons sur la iJiéorie générale des surfaces^ l. 4, p. 38. 



