G72 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



moins aussi vile que 



I 



toute Jonction F(j7), holomorphe dans une aire C convexe^ est représentable 

 dans cette aire par une somme (intégrale) de fonctions de la forme 



V(a'^ + (3') 



ou, au besoin comme il a été dit^ 



V,(a':p4-(3'), 



a', ^' étant des constantes en X. 



Les importants corollaires suivants s'ensuivent : 



Toute fonction holomorphe^ dans une aire convexe, y est représentable par 

 une somme d^ exponentielles . 



La représentation trigonométrique y est incluse. 



Toute fonction holomorphe, dans une aire convexe, y est représentable par 

 une somme de fractions rationnelles 



V(a:i^ + (3), 



a, [3 étant des constantes en x, la différence des degrés du dénominateur et du 

 numérateur de ces fractions étant au moins égale à deux en faveur du déno- 

 minateur. 



Je donnerai rapidement la démonstration de ces propositions en partant 



de rintégrale de Cauchy 



'F(^)_^ 



X 



-2.111 J^ Z — 



valable pour F(^), holomorphe dans l'aire convexe C. 



En désignant par ç Fangle de la tangente en z au contour C avec l'axe 

 (positif) des quantités imaginaires, la quantité 



{z — JL-) e"-'-'^ 



a sa partie réelle positive. Par une rotation de (— ©) la tangente en ::, 

 devient parallèle à l'axe imaginaire, l'aire C apparaît à sa gauche, le vec- 

 teur zx, dirigé de z vers un point intérieur à C, tombant à l'intérieur de C, 

 aura sa partie réelle négative. D'où conclusion pour (z — a)e '^• 

 Envisageons alors la fonction 



V(^) 



