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J'ai pu en tirer antérieurement, dans un cas particulier, une méthode 

 pour atteindre systématiquement les points singuliers de fonctions données 

 par des séries de Taylor ou d'autres développements. 



Je ferai remarquer, concernant ces représentations générales, qu'elles se 

 rattachent à ces travaux de l'Analyse contemporaine dont l'origine se 

 trouve dans les travaux de M. Picard sur les fonctions entières. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités des Jonctions aiitomorphes. 

 Note de M. P.-J. Myrbérg, présentée par M. Kmile Borel. 



1. Dans la théorie des fonctions automorphes d'une seule variable on a 

 ce théorème : 



A tout groupe proprement discontinu il correspond des fonctions auto- 

 morphes, qui existent dans le domaine de discontinuité du groupe (ou 

 dans une portion connexe de ce domaine) et dont les singularités essen- 

 tielles, par suite, ne dépendent que du groupe donné. 



Dans la théorie des fonctions automorphes de plusieurs variables, ce 

 théorème n'est plus vrai. En efTet l'exemple des fonctions abéliennes 

 montre qu'ici la discontinuité propre du groupe ne suffit plus pour assurer 

 l'existence de fondions automorphes, et d'autre part on sait, d'après les 

 recherches de MM. Picard et Giraud, que, pour certains groupes à plu- 

 sieurs variables, les fonctions automorphes correspondantes présentent 

 nécessairement des singularités essentielles dans des domaines où le groupe 

 est proprement discontinu. 



Cependant il est possible, dans des cas très généraux, de rétablir l'ana- 

 logie entre les deux théories par une modification convenable de la notion 

 de « discontinuité d'un groupe », notamment en y faisant intervenir les 

 points d'accumulation, non pas d'une suite de points, mais d'une suite d'en- 

 semble de points. 



2. Dans cette Note nous nous bornerons aux groupes discontinus F com- 

 posés de coUinéations 



ii + i 



(') Y,-=:V a,/. ;•/, (/z=:l, 2, ...,/< +1). 



k = \ 



En considérant les (piaiitités réelles ou complexes j,,j^^, ..., y^^., comme 

 les coordonnées homogènes d'un point dans un espace R„, nous admettrons 

 d'abord les deux hypothèses suivantes : 



