SÉANCE DU 23 OCTOBRE 1922. 675 



I. (^) étant une suite infinie de substitutions choisies arbitrairement parmi 

 les substitutions (i), il existe toiijmirs n -{- 1 points qui ne sont pas situés dans 

 un même hyperplan I^a/^y^^ = o, et dont les transformés par les substitutions (a') 

 ont en commun au moins un point d'accumulation P, 



Soit Cm) l'ensemble fermé composé des points d'accumulation com- 

 muns P [auxquels on arrive en choisissant de différentes manières la 

 suite (a*) et les 71 -f- 1 points correspondants] et de leurs points-limite. 



II. Il y a dans R„ des hyperplans qui ont une distance minima non nulle de 

 l'ensemble (m). 



Si les hypothèses I et II sont vérifiées, on a ce théorème : 

 Q étant un ensemble fermé de points de R„ qui ne renferme aucun point 

 de (m), on peut affirmer que les transformés de Q par le groupe T admettent 

 comme seuls points d- accumulation les points de certains hyperplans (M), 

 lesquels dépendent^ non pas du choix de l'ensemble Q, mais uniquement du 

 groupe donnée et qui renferment les points de V ensemble (m). 



Ajoutons maintenant cette troisième hypothèse relative au groupe F : 



III . Il y a des points de R„ qui n appartiennent à aucun des hyperplans ( M ) . 

 En désignant par D l'ensemble de ces points on aura ce théorème : 



Les transformés dhin point quelconque de D par le groupe F admettent 

 comme seuls points d' accumulation les points de Vensemble (m). 



Le groupe F esl donc proprement discontinu dans D, mais, en général, 

 F jouit de cette propriété aussi dans des espaces situés en dehors de D. 



3. Formons mainLenant les séries de M. Picard 



«=2:-(S)(|f,)'. 



en choisissant pour 5e une fonction rationnelle qui reste finie sur l'en- 

 semble (m). Si l'on suppose cet ensemble situé à distance finie, ce qu'on 

 peut toujours réaliser par une substitution linéaire, grâce à l'hypothèse II, 

 et si l'on choisit /)> 2, la série (2) converge uniformément (et absolument) 

 dans toute portion intérieure de D, à condition qu'on évalue les termes en 

 nombre fini qui y présentent des singularités algébriques, et représente 

 donc dans ce domaine une fonction monogène de caractère rationnel. 



Les séries (2) et les fonctions automorphes formées à l'aide de ces séries 

 présentent des singularités essentielles en tout point appartenant à l'un des 

 hyperplans (M), et leur domaine d'existence coïncide donc avec le 

 domaine D (ou avec une portion connexe de ce domaine, s'il se compose de 

 portions distinctes). 



