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et 1 6v I sont compris entre po et r. De plus limP = P^, où Pq est une quan- 

 tité finie qui ne dépend que de p„. ' > 



Le premier membre de la formule (3) se. compose de trois termes de 

 nature essentiellement différente. En effet, le premier de ces termes dépend 

 uniquement des valeurs du module ly(a7)| sur le contour du domaine (2), 

 le second, de ses valeurs à l'intérieur du domaine, enfin, le troisième, de la 

 distribution des zéros et des pôles def^x^ dans ce même domaine. 



Parmi les multiples conséquences qu'on peut tirer de la formule (3) on 

 aura, en particulier, ce théorème : 



Soit A(/) une fonction réelle et positive quelconque telle que V intégrale 



I 



"^dr 



diverge pour p-^oc, et admettons que la fonction monogène f{oc) vérifie les 

 conditions générales sous lesquelles a été démontrée la formule (3) e/ quelle 

 jouit, en outre, des propriétés suivantes : 



1° Sur l'axe imaginaire on a, pour les valeurs suffisamment grandes de\t\, 



Iog|/(±''01^A(0. 



2° On rt, pour j !p 1 2: - e/ pour une suite de valeurs indéfiniment croissantes 



de r, 



\os\f(re'^)\<e{r)rJ' ^ dt, 



OU £(?•) -T> o pour r - ce. 



3** Les expressions a(j^) et b(j') définies par les dernières égalités (4) véri- 

 fient, à partir d'une certaine valeur ;•, la condition 



a{r) — b{r)^ktV{r), 



où k désigne une constante positive. 



Dans ces conditions, on peut affirmer que l'l--> à moins que la fonc- 

 tion f {x) ne s évanouisse identiquement. 



C'est là peut-être la forme la plus générale que l'on puisse donner au 

 théorème connu de M. I^'ritz Carlson, dont M. Rolf Nevanlinna avait déjà 

 indiqué des générahsations importantes (\). Il faut surtout remarquer que 



(^) Sur les relations qui existent entre l'ordre .de croissance d'une fonction 

 monogène et la densité de ses zéros {Comptes rendus, t. 174, 1922, p. i325). 



