SÉANCE DU 23 OCTOBRE I922. 679 



la condition 3° du théorème ci-dessus n'exclut pas la possibilité que les 

 arguments des zéros a^j, ou des pôles by de /(k) s'approchent indéfiniment 



de ± - pour des indices indéfiniment croissants. 



En ternjinant, nous devons remarquer qu'une méthode analogue à celle 

 qui nous a conduit aux résultats indiqués dans cette Note avait déjà été 

 employée dans d'autres recherches par M. Forsten Carleman ('). 



CALCUL DES PROBABILITÉS. — Sur lin théorème de M. Markoff. 

 Note de M. Alf. Guldberg. 



Dans son Calcul des probabilités M. Markoff a établi un théorème fonda- 

 mental sur les.valeurs moyennes. M. Markoff a particulièrement utilisé son 

 théorème dans sa démonstration du célèbre théorème de Tchebycheff sur 

 l'espérance mathématique et les valeurs moyennes. 



Je me permets, dans les lignes qui suivent, de faire une remarque sur le 

 théorème de M. Markoff. 



Soit .^• une quantité pouvant prendre les valeurs distinctes positives a\ 

 avec la probabilité/?,, j:*^ avec la probabilité jo. 5 •••? .^7, avec la probabilité yj^, 

 en sorte que/?, + jo^ -h . . . H- /?y^ = I . 



La valeur moyenne de la n'^""^ puissance de la quantité x est définie par 

 l'expression 



Soit a">> m(.i^"'). En divisant m(x") par a'\ on aura 



\/m{x'^) 





Désignons par x', x'\ ... les valeurs de x supérieures à a et négligeons 

 les autres; soient p',p", ... les valeurs des probabilités correspondant aux 

 x', x", .... On aura 



'^in{a.") 



>'OM~ 



(^) Sur un théorème de M. Denjoy {Comptes rendus, t. 174, 1922, p. o'j'i). — 

 Sut^les fonctions inverses des fonctions entières d'ordre fini {Arkiv for mate- 

 matik, astronomi o. fysik. Bel 15, 1920). 



