SÉANCE DU 23 OCTOBRE I922. 681 



CALCUL DES PROBABILITÉS. — Sur le critérium de Tchehycheff. 

 Note de M. Coxstaxt Lurquin, présentée par M. Emile Borel. 



; l.,.M. Alf. Guldberg' (') a indiqué une généralisation du théorème de 

 Tchebycheft', trop peu connu et qui cependant joue un rôle fondamental 

 dans l'étude des résultats asymptotiques du calcul des probabilités. 

 Tchebycheff s'est limité au cas des écarts moyens quadratiques (-). 

 M. Guldberg fait l'extension au cas des écarts moyens de degré supérieur 

 au moyen du raisonnement de Pizetti (') qui, vingt-cinq ans après Tche- 

 bycheff, avait trouvé les résultats de ce dernier. 



La généralisation de la proposition qui nous occupe peut se faire directe- 

 ment. Voici la démonstration brirvement indiquée. 



Soient a,, ao, . • ., a^j^ les valeurs possibles de la quantité variable a avec 

 les probabilités respectives /?, , /^2j -- -, P\y.' 



On a la condition 



^^ i 

 1 



Les valeurs moyennes des différentes puissances de a sont 



1 1 1 



L'écart moyen absolu E(a) de puissance n'^"'" de a, c'est-à-dire la valeur 



(«) 



moyenne de la puissance «'*""' de l'écart absolu (a — a,), est défini par 

 l'égalité 



'»' 



(0 E«(a)=y (a— a,)V.= M(^«) 



1 



avec 



1 



(') Comptes rendus, t. 175, 1922, p I41S. 



(-) Des valeurs moyennes {Journal de Mathématiques pures et appliquées, 

 2^ série, t. 12, 1867, p. 177). 



(^) I fondamenti matematiciper la critica dei risullati sperimentali {Ann. délia 

 R. Univ. di Genova, 1892, p. 184). 



